Паутинообразная модель

Министерство образования  и науки Российской Федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ  БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет экономики и  управления

Кафедра математических методов  и моделей в экономике

 

 

 

 

ОТЧЕТ

по лабораторной работе №  11

по курсу «Экономико-математические методы и модели»

 

Паутинообразная модель

 

ОГУ 080105.65.6012. ОО

 

 

 

 

 

 

 

Руководитель

_______________ Р.М. Шаяхметова

"___"_______________20__ г.

Исполнитель

студент группы 10ФК-1

_______________

"___"_______________20__ г.

 

 

 

 

 

Оренбург 2012

 

Постановка задачи

Согласно исходным данным (табл.1), требуется:

1. определить равновесные значения цены и объема графическим способом;
2. построить аналитические функции спроса и предложения;
3. в предположении паутинообразной модели экономического равновесия (предложение на следующий «торговый» день прямо ориентируется на спрос предыдущего дня ()) найти соотношение для определения цены на следующий торговый день в зависимости от цены предыдущего дня;
4. определить, через сколько «торговых» дней на рынке установится состояние равновесия. Начальная цена p₀– цена при t=0, точка равновесия – p^*. Результаты представить в виде таблицы (табл. 2).

Таблица 1 – Исходные данные о цене, спросе и предложении  на товар

Цена	Спрос	Предложение
p	x	y
10,2	207,6	132,6
12,2	188,6	153,6
14,2	172,1	172,1
16,2	162,6	183,6
18,2	163,6	184,6
20,2	153,6	196,6
22,2	137,6	214,6
24,2	147,6	206,6
26,2	139,6	216,6
28,2	151,6	206,6
30,2	133,6	226,6
32,2	141,6	220,6
34,2	126,6	237,6
36,2	130,6	235,6
38,2	135,6	232,6
40,2	117,6	252,6
42,2	118,6	253,6
44,2	121,6	252,6
46,2	122,6	253,6

Таблица 2 – Форма представления  результатов расчетов

День	Цена p	Спрос D	Предложение S	E=D-S
0	p0=	D0=	S0=	D0-S0=
1	p1=	D1=	S1=	D1-S1=
…	…	…	…	…
	p*=

 

 

Решение задачи

Процесс решения начинается с создания формы и ввода исходных данных. Откроем рабочий лист табличного процессора Excel и занесем исходные данные (рис. 1).

Рисунок 1 – Ввод исходной информации

Для решения поставленных задач воспользуемся возможностями  MSExcel. Построим функции спроса и предложения от цены товара на одном графике (рисунок 2).

Рисунок 2 – Взаимное расположение кривых спроса и предложения

Из рисунка 2 видно, что  точка равновесия существует: равновесное  значение цены составляет 14,2 ед., которой соответствует равновесное значение объема спроса и предложения в количестве 172,1 ед.

Перейдем к вопросу  построения функции спроса и предложения. Зависимость функций спроса и предложенияот цены p_t имеет нелинейный характер. Эмпирические исследования показывают, что функции спроса и предложения на потребительские товары эффективно аппроксимируются степенными функциями, поэтому их построение будем осуществлять в следующем виде:

 

Для оценки неизвестных параметроввоспользуемся методом наименьших квадратов. Предварительно проведем линеаризацию данных путем логарифмирования обеих частей уравнений (табл. 3):

 

Таблица 3 – Результаты логарифмирования

№
1	2,32	5,34	4,89
2	2,50	5,24	5,03
3	2,65	5,15	5,15
4	2,79	5,09	5,21
5	2,90	5,10	5,22
6	3,01	5,03	5,28
7	3,10	4,92	5,37
8	3,19	4,99	5,33
9	3,27	4,94	5,38
10	3,34	5,02	5,33
11	3,41	4,89	5,42
12	3,47	4,95	5,40
13	3,53	4,84	5,47
14	3,59	4,87	5,46
15	3,64	4,91	5,45
16	3,69	4,77	5,53
17	3,74	4,78	5,54
18	3,79	4,80	5,53
19	3,83	4,81	5,54

Для нахождения параметров воспользуемся инструментом MSExcelАнализ данных→Регрессия, где

- входной интервал Y – ссылка на диапазон, содержащий данные об аппроксимируемой функции:  для функции спроса указывают входной интервал логарифмов , для функции предложения – интервал логарифмов ;

- входной интервал X – ссылка на диапазон, содержащий данные логарифмов цены.

Результаты представлены на рисунках 3, 4.

Рисунок 3 – Вывод результатов  о функции спроса на товар

Рисунок 4 – Вывод результатов  о функции предложения на товар

Таким образом, функции спроса и предложения на товар примут вид:

 

На рисунках 5, 6 показаны графики фактических и модельных значений исследуемых функций спроса и предложения.

Рисунок 5 – Фактические  и модельные значения функции  спроса

Рисунок 6 – Фактические и модельные значения функции предложения

Определим среднюю относительную  погрешность аппроксимации по формуле:

 

где x_a – значения, рассчитанные с помощью построенных функций,

x_t–значения спроса и предложения, заданные таблично изначально.

Средняя относительная погрешность  аппроксимации для спроса равна 0,036%, а для предложения – 0,032%. Следовательно, построенные функции  хорошо аппроксимируют исходные данные, и могут использоваться для дальнейшего  анализа значений спроса и предложения.

В точке равновесия спрос равен предложению, поэтому:

 

Равновесный объем спроса и предложения равен:

 

Определим взаимосвязь для  цены в зависимости от цены предыдущего дня . Согласно паутинообразной модели имеем: .

 

Определим, через сколько  «торговых» дней на рынке установится  состояние равновесия согласно построенным  функция спроса и предложения. Начальная цена p₀– цена, точка равновесия – p^*. Результаты представим в виде таблицы 4:

Таблица 4 – Сходимость цены к равновесной

День	Цена p	Спрос D	Предложение S	E=D-S
0	p0=10,2	D0=196,46	S0=146,52	D0-S0=49,93
1	21,8	152,58	196,02	-43,43
2	11,3	189,95	152,32	37,64
3	19,9	157,10	189,54	-32,43
4	12,2	185,21	156,82	28,39
5	18,7	160,59	184,81	-24,22
6	12,9	181,72	160,29	21,43
7	17,8	163,25	181,34	-18,08
8	13,5	179,14	162,95	16,20
9	17,1	165,29	178,77	-13,48
10	13,9	177,23	164,97	12,26
11	16,7	166,83	176,87	-10,04
12	14,2	175,81	166,51	9,30
13	16,31	168,00	175,45	-7,45
14	14,49	174,75	167,67	7,07
15	16,06	168,88	174,39	-5,51
16	14,69	173,95	168,55	5,40
17	15,87	169,55	173,60	-4,05
18	14,84	173,36	169,22	4,14
19	15,73	170,05	173,01	-2,96
20	14,96	172,92	169,72	3,20
21	15,62	170,43	172,57	-2,14
22	15,04	172,58	170,10	2,49
23	15,5	170,72	172,24	-1,52
24	15,1	172,33	170,38	1,95
25	15,5	170,93	171,99	-1,06
26	15,2	172,15	170,59	1,55
27	15,4	171,09	171,80	-0,71
28	15,2	172,01	170,75	1,25
29	15,4	171,21	171,66	-0,45
30	15,2	171,90	170,88	1,03
31	15,4	171,31	171,56	-0,25
32	15,2	171,82	170,97	0,85
33	15,4	171,37	171,48	-0,10
34	15,3	171,76	171,03	0,73
35	15,35	171,426	171,420	0,01

Таким образом, мы видим, что  по прошествии 35 «рыночных» дней процесс установления цены сходится к состоянию равновесия, причем получается уже известное нам значение равновесной цены p^*=15,35. Заметим, что промежуточные значения цены попеременно становятся то больше, то меньше равновесной величины. Это означает, что процесс имеет колебательный характер с уменьшающейся амплитудой.