Парная регрессия и корреляция

 

Параметры уравнения  множественной регрессии оцениваются, как и в парной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК). При его применении строится система нормальных уравнений, решение которой и позволяет получить оценки параметров регрессии.

На основе расчетов, представленных в таблице 2, получили следующую систему:

Эту систему решаем методом  обратной матрицы

a₀ = 2,524 a₁ = 0,674 a₂ = 0,157

Уравнение множественной  регрессии имеет вид:

ŷ = 2,524 + 0,674 х₁ + 0,157х₂

Парные коэффициенты корреляции найдем по формулам:

где среднее квадратическое отклонение находится

; ;

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи  между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов, включенных в модель.

= 0,384; = 0,408; = 0,650

Практическая значимость уравнения множественной регрессии  оценивается с помощью показателя множественной корреляции и его квадрата – коэффициента детерминации. Показатель множественной корреляции характеризует тесноту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым признаком, т.е. оценивает тесноту связи совместного влияния факторов на результат.

Коэффициент множественной  корреляции:

=> близко к 1, поэтому очень близкая зависимость между факторами и результатом.

Качество построенной  модели в целом оценивает коэффициент  детерминации. Коэффициент множественной детерминации рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции:

R²_yx1x2 = 0,896  0,8<R²_yx1x2< 0,95 удовлетворительная аппроксимация

Значимость уравнения  множественной регрессии в целом, оценивается с помощью F-критерия Фишера по формуле:

F_расч = 30,116; F_таб = 4,74

Так как F_расч > F_таб , то уравнение регрессии можно признать адекватным.

Значимость коэффициентов а₁ и а₂ определяется по t-критерию Стьюдента:

ta₁ = 1,099; ta₂ = 1,181; t_табл = 2,306

Так как t_расч < t_табл, то коэффициенты регрессии не значимы.

Средняя ошибка аппроксимации: Ā = 1/n ∙ ∑|y - ŷ|/y ∙ 100% = 3,31 %

Так как допустимый предел значений не более 8-10%, качество модели по данному показателю удовлетворительное.

Во множественной регрессии  коэффициенты «чистой» регрессии а_j связаны со стандартизованными коэффициентами регрессии βj следующим образом:

₁= 0,461; ₂ = 0,496

Средние коэффициенты эластичности рассчитаем по формуле:

0,433; 0,360

Коэффициенты ∆ позволяют оценить долю вклада анализируемых факторов х₁ и х₂ в суммарном влиянии всех отобранных факторов:

∆₁ = 0,482; ∆₂ = 0,518

Доверительные интервалы  прогноза:

ŷ_х ± t_α · σ_ŷ ; ŷ_х ± 3,208

Прогнозное значение ŷ_х в точке х будет находится в интервале:

8,992 ≤ ŷ_х ≤ 15,408

Проверка результатов:

Корреляционный анализ служит для выявления взаимосвязей между выборками.

Таблица 11 Корреляционный анализ

	y	x1	x2
y	1
x1	0,956828	1
x2	0,93548	0,936971	1

 

Регрессионный анализ используется для определения общего вида уравнения регрессии, оценки параметров этого уравнения, а также проверки различных статистических гипотез относительно регрессии.

Таблица 12 Регрессионная  статистика

Регрессионная статистика
Множественный R	0,94651
R-квадрат	0,895882
Нормированный R-квадрат	0,866134
Стандартная ошибка	0,566814
Наблюдения	10

 

Таблица 13 Дисперсионный  анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	19,35105	9,675525	30,11568	0,000364
Остаток	7	2,248951	0,321279
Итого	9	21,6

 

Таблица 14 Параметры модели и их статистические оценки

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 98%	Верхние 98%
Y-пересечение	2,524423	1,665284	1,515912	0,173322	-1,41335	6,46219
Переменная х1	0,674282	0,613505	1,099065	0,308097	-0,77643	2,12499
Переменная х2	0,156757	0,13269	1,181382	0,276027	-0,157	0,47051

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

 

Задача 3. В целях прогнозирования объёма продаж компании на будущие периоды были собраны данные за 9 лет по следующим показателям: Y(t) – объем продаж; x(t) –индекс потребительских цен.

Требуется:

1. Проверить наличие тренда для Y(t), использовать при этом метод Фостера-Стьюарта.

2. Построить для временного ряда Y(t): модель линейной кривой роста Y(t)=a₀+a₁t, линейную однофакторную модель регрессии Y(t)=a_o+a₁X(t).

3. Оценить качество построенных моделей, проведя их исследование на адекватность и точность. Адекватность модели определить на основе проверки случайности остаточной суммы (метод пик), наличия нормального закона распределения (критерий размаха), независимости уровней ряда остатков (метод Дарбина-Уотсона).

4. Для модели регрессии дополнительно рассчитать парный коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, коэффициент эластичности и β – коэффициент, раскрыть их экономический смысл.

5. Построить точечный и доверительный прогноз на два шага вперед (для t=10;11) для Y(t) по адекватным моделям.

6. Построить графики моделей.

7. Дать сравнительную характеристику моделей, выбрать лучшую.

 

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Y(t)	35	37	40	41	45	51	52	55	57
X(t)	65	67	63	60	56	53	57	59	51

 

Основные характеристики уровня ряда:

1. Средняя арифметическая: = 45,89

Среднеквадратическое  отклонение: σ = √ ∑(Y(t) - Y)/ n = 7,65

Дисперсия: D =  ∑(Y(t) - Y)²/ n = 58,54

Несмещенная состоятельная  оценка среднеквадратического отклонения:

S = √ ∑(Y(t) - Y))²/ (n-1) = 65,86

Рисунок 2 - График объема продаж

Для выявления тренда в ряду динамики используется метод Фостера-Стьюарта: Выдвигается гипотеза H_0, состоящая в том, что во временном ряде тренд отсутствует и в среднем значении, и в дисперсии.

Выполним сравнение  каждого уровня ряда с предыдущим и определим две последовательности:

Вычислим величины Kt и Lt, характеризующие изменение временного ряда и дисперсии:

Величина Kt характеризует изменение временного ряда, она может принимать значение от 0 (когда все уровни ряда равны) до n – 1 (ряд монотонный). Величина Lt характеризует изменение дисперсии временного ряда и изменяется от – (n – 1) (когда ряд монотонно убывает) до (n – 1) (когда ряд монотонно возрастает). Эти величины являются случайными с математическим ожиданием μ для значения Kt и 0 для значения Lt.

Таблица 15 Расчет показателей линейной модели

t	Y(t)	U(t)		V(t)	K(t)	L(t)
1	35		-	-	-	-
2	37		1	0	1	1
3	40		1	0	1	1
4	41		1	0	1	1
5	45		1	0	1	1
6	51		1	0	1	1
7	52		1	0	1	1
8	55		1	0	1	1
9	57		1	0	1	1
Итого	413		8	0	8	8

 

В данном случае Ut = 8, Vt = 0.

Проверим гипотезу с помощью критерия Стьюдента для средней и для дисперсии:

где μ_k – математическое ожидание величины k для случайного временного ряда; μ_e – математическое ожидание случайной величины e для случайного временного ряда;σ_k – среднеквадратичное отклонение величины K для случайного временного ряда; σ_e – среднеквадратичное отклонение случайной величины e для случайного временного ряда.

Для N = 9 известны следующие данные: μ_k = 3,703; μ_e = 0; σ_k = 1,242_; σ_e = 1,927.

Получим:                 t_k = 3,459;              t_e = 4,151

Полученные значения t_k, t_e необходимо сравнить с табличными значениями критерия Стьюдента t_табл.

Критическое число t_{1-L, N-2} = 2,37. (Число степеней свободы df= 7 при уровне значимости α = 0,05)

Так как t_k = 3,459 > t_табл = 2,37, то с вероятностью 0,95 гипотеза об отсутствии тренда в дисперсии отклоняется. Так как t_e = 4,151 > t_табл = 2,37, то с вероятностью 0,95 отклоняется гипотеза об отсутствии тренда и в среднем значении.

Вывод: Тренд присутствует с вероятностью 0,95. Так как вероятность присутствия тренда высока, имеет смысл строить модель и делать прогнозы.

Линейная модель: Y = a₀+a₁ ∙ t

Таблица 16 Расчет показателей линейной модели

t	Y(t)					yp	εt
1	35	-4	16	-10,89	43,56	34,16	0,84
2	37	-3	9	-8,89	26,67	37,09	-0,09
3	40	-2	4	-5,89	11,78	40,02	-0,02
4	41	-1	1	-4,89	4,89	42,96	-1,96
5	45	0	0	-0,89	0,00	45,89	-0,89
6	51	1	1	5,11	5,11	48,82	2,18
7	52	2	4	6,11	12,22	51,76	0,24
8	55	3	9	9,11	27,33	54,69	0,31
9	57	4	16	11,11	44,44	57,62	-0,62
Итого	413	0	60	0	176,00	413,00	0
Среднее значение	45,9	0	6,67	0	19,56	45,89	0