Математические модели оптимизации технологических процессов раскроя материалов в машиностроении

1.ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ, НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

 

1.1.Постановка задачи

Найти наилучший вариант  емкости заданного объема V имеющей  форму прямого кругового цилиндра. Рассмотреть 2 варианта задачи:

1)Наилучшая емкость должна иметь наименьшую поверхность.

2) Наилучшая емкость должна иметь наименьшую длину швов.

Принять  
  м³

R=0.1,0.11,…,0.32

1.2Аналитическое решение задач.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3 Метод перебора.

Решение задачи с применением метода перебора
				1вар	2вар
шаг0.01				s(min)	L(min)	№поз S	№позL
r	S	L	№	0.7536	2.574727	11	5
0.1	1.0676	2.856	1
0.11	0.989443	2.703914	2
0.12	0.927765	2.618311	3
0.13	0.879055	2.579546	4
0.14	0.840802	2.574727	5
0.15	0.811167	2.595111	6
0.16	0.788768	2.6346	7
0.17	0.772551	2.688833	8
0.18	0.761694	2.754627	9
0.19	0.75555	2.829613	10
0.2	0.7536	2.912	11
0.21	0.755424	3.000412	12
0.22	0.760679	3.093779	13
0.23	0.769082	3.191257	14
0.24	0.780395	3.292178	15
0.25	0.79442	3.396	16
0.26	0.81099	3.502286	17
0.27	0.82996	3.610679	18
0.28	0.851209	3.720882	19
0.29	0.874631	3.83265	20
0.3	0.900133	3.945778	21
0.31	0.927637	4.060093	22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4 Решение с применением средства подбора параметра.

Подбор параметра   1вариант
r(s)=	0.199997	r(l)=	0.13658
2вариант
s'(r)=	-0.0001	l'(r)=	-9E-05

 

1.5 Решение задачи с применением средства надстройки «поиск решения»

Поиск решения
1вариант	r(s)=	0.2
	S=	0.7536
	L=	2.573165

 

2 вариант                  r(l)=	0.13658
S=	0.7536
L=	2.573165

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.6 Создание 3D модели цилиндра с применением операции выдавливания в Компас 3D.

1 вариант

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 вариант

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.

2.1 Графоаналитический метод решения задачи линейной оптимизации.

Норма затрат ресурсов на единицу  времени.						Запасы ресурсов.			Прибыль на ед.продукции.
А11	А12	А21	А22	А31	А32	Р1	Р2	Р3		S1	S2
3	2	2	3	1	1	101	99	37		27	24

 

 

 

F(x₁,x₂)

X₁=33,67; X₂=50,5

X₁=49,5; X₂=33         -координаты на осях.

X₁=37; X₂=37         

 

 

 

 

 

 

Минимальное значение находится в точке 3.

 

2.2 Симплекс- метод решения задач линейной оптимизации.

 

В канонической форме будет иметь  вид:

F(x₁;x₂)= -11x₁-8x₂→min

Базисными переменными принимаем    

Свободными  переменными принимаем   x₁  x₂

 

 

 

 

 

x₁^Н =0; x₂^Н =0; x₃^Н =361; x₄ ^Н=101 ; x₅^Н =99

 

Если x₂=0,тогда

     =>  x₁ =33,67; x₁ =37; x₁ =49,5

x₁¹ =33,76; x₂¹ =0; x₃¹ =0; x₄ ¹=48,08 ; x₅¹ =136,96

 

F¹=-305.36

 

Нахождение  остальных точек проходит по тому же принципу, только берутся другие базисные и свободные точки с  учетом предыдущих шагов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3 Метод ветвей и границ решения задач целочисленной линейной оптимизации.

 

Найти максимум функции F(x₁;x₂)= x₁+2x₂→max

методом ветвей и границ при ограничениях 

7x₁+5x₂≤35

-2x₁+3x₂≤6

x₁;x₂≥0,целые

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4 Компьютерное моделирование задач линейного програмирования.

 

 

 

 

 

3.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СТРУКТУРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.

 

3.1 Постановка задачи. Исходные данные.

Найти маршрут обработки при минимальной  себестоимости между заготовкой и деталью ориентированного графа  возможных маршрутов обработки.

3.2 Принцип оптимальности динамического программирования в виде рекуррентного соотношения.

 

n!=n(n-1)!

3!=(1*2)*3

f_n(i)=min(C_ij+f_n-1(j))

где f_n(i)-это минимальная себестоимость маршрута обработки от состояния –заготовка до состояния-деталь, если до конца обработки осталось n шагов.

n-номер шага решения задачи.

i-вершина которая определяет состояние заготовки

j-вершина определяющая состояние заготовки после выполнения тех. перехода.

C_ij-себестоимость выполнения техн. перехода.

 

3.3Вычислительная схема решения задачи методом динамического программирования по шагам в виде таблицы.

 

 

 

i	Расчет f(i)	F1(i)	J1(i)
	10
8	1	1	10
9	4	4	10

 

 

 

i	Расчет f(i)		F1(i)	J1(i)
	8	9
5	7+1	5+4	8	8
6	2+1	4+4	3	8
7	7+1	1+4	5	9

 

 

 

 

 

i	Расчет f(i)			F1(i)	J1(i)
	5	6	7
2	10+8	12+3	-------	15	6
3	5+8	10+3	7+5	12	7
4	-------	15+3	13+5	18	7

 

 

i	Расчет f(i)			F1(i)	J1(i)
	2	3	4
1	2+15	5+12	1+18	17	2

 

Минимальный  маршрут : 1-2-6-8-10=2+11+3+1=17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.4Компьютерное моделирование задач структурной оптимизации методом динамического программирования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ РАСКРОЯ МАТЕРИАЛОВ В МАШИНОСТРОЕНИИ.

 

4.1 Постановка задачи. Исходные данные.

На  предприятие имеется материал  в виде прутков фиксированной  длины L. Из этого материала нужно  разрезать заготовки требуемой  длины l_i.Для изготовления деталей определенного вида с заданным количеством. При этом требуемое количество деталей должно быть получено из минимального количества материала или с минимальным количеством отходов.

Пусть L=7 ,4 м ; l₁=2.9 м; l₂=2.1 м; l₃=1.5 м; N₁=100шт; N₂=100шт; N₃=100шт.

 

 

4.2Математическая модель задачи.

Исходными переменными математической модели данной задачи является xj-количество прутков

L=7 ,4 м разделенному согласно j-ому варианту. Вначале нужно определить количество вариантов раскроя Z_j для данной задачи. Генерирование вариантов раскроя проведем с помощью эвристического алгоритма.

  

Отбросим  варианты №8 и №5 так как отход очень большой.

Оставшиеся  варианты сведем в таблицу.

Zj	Число заготовок
	l1=2.9	L2=2.1		l3=1.5	отход	Xj
Z1	1	0	3		0	X1
Z2	2	0	1		0,1	X2
Z3	0	2	2		0,2	X3
Z4	1	2	0		0,3	X4
Z5	0	1	3		0,8	X5
Z6	1	1	1		0,4	X6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда математическая модель данной задачи может записана в следующем виде.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.3 Компьютерное моделирование задачи раскроя материалов.

Решаем  методом поиска решения.

1 вариант.

 

2 вариант.

Список  источников.

1.Лекции по предмету «Математическое моделирование процессов в машиностроении».

2.Программа для создания трехмерных моделей «Компас 3D».

3.Текстовый редактор «Microsoft Office Excel 2010».