Линейная балансовая модель

ЛИНЕЙНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ

 
Пусть рассматривается экономическая  система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление ( конечный продукт ), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции ( первый столбец таблицы 1 ) и как ее потребитель ( первая строка таблицы 1 ).

Обозначим через xi валовый выпуск продукции i-й отрасли за планируемый период и через yi – конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление ( средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д. ).

Таким образом, разность xi - yi составляет часть продукции i-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе.

Обозначим через xik часть продукции i-й отрасли, которая потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере хk.

Таблица 1

№ отрас.	потребление						итого  на внутре-  производ.  потребление   ( е хik )	конечный   продукт   ( уi )	вал овый  выпуск  ( хi )
	1	2	…	k	…	n
1	х11	х12	...	х1k	...	х1n	е х1k	y1	х1
2	х21	х22	...	х2k	...	х2n	е х2k	y2	х2
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
i	хi1	хi2	...	хik	...	хin	е хik	yi	хi
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
n	хn1	хn2	...	хnk	...	хnn	е хnk	yn	хn
итого   произв.  затраты в k-ю  отрасль	е хil	е хi2	...	е хnl	...	е хin

Очевидно, величины, расположенные  в строках таблицы 1 связаны следующими балансовыми равенствами : 
 
х1 - ( х11 + х12 + … + х1n ) = у1  
х2 - ( х21 + х22 + … + х2n ) = у2 333 ( 1 ) 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
xn - ( xn1 + xn2 + … + xnn ) = yn

 

Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период.

Будем снабжать штрихом ( х'ik , y'i и т.д. ) данные, относящиеся к истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха – аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства ( 1 ) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде.

Будем называть совокупность значений y1 , y2 , … , yn , характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором :

_ 
у = ( у1 , у2 , … , yn ) , 333 ( 2 )

 
а совокупность значений x1 , x2 , … , xn ,определяющих валовый выпуск всех отраслей – вектор-планом :

_ 
x = ( x1 , x2 , … , xn ). 333 ( 3 ) 
 
Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми равенствами ( 1 ). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т.к. кроме искомых неизвестных хk , содержат n2 неизвестных xik , которые в свою очередь зависят от xk.

Поэтому преобразуем эти  равенства. Рассчитаем величины aik из соотношений :

33333 xik 
aik = ––– ( i , k = 1 , 2 , … , n ). 
33333xk

Величины aik называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты aik постоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т.е., что

 
x'ik 333 xik  
––– = ––– = aik = const 333 ( 4 )  
x'k 333 xk  
 
Исходя из этого предложения имеем  
 
xik = aikxk , 333 ( 5 ) 
 
 
 
т.е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска xk. Поэтому равенство ( 5 ) называют условием линейности прямых затрат.

Рассчитав коэффициенты прямых затрат aik по формуле ( 4 ), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицу

 
333 a11 a12 … a1k … a1n 
333 a21 a22 … a2k … a2n 
A= …………………. 
333 ai1 ai2 … aik … ain 
333 an1 an2 … ank … ann

 

которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы aik этой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенства А>0 и называют такую матрицу неотрицательной.

Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемые табл.1

Подставляя значения xik = aik = xk во все уравнения системы ( 1 ), получим линейную балансовую модель :

 
x1 - ( a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ) = y1 
x2 - ( a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ) = y2 ( 6 ) 
…………………………………… 
xn - ( an1x1 + an2x2 + … + annxn ) = yn ,

характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл.1

Система уравнений  ( 6 ) может быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений:

3 _ 33 _ 33 _ 
Е·х - А·х = У , или окончательно 
33333333 _ 3 _ 
( Е - А )·3х = У , ( 6' )

где Е – единичная матрица n-го порядка и

33333 1-a11 -a12 … -a1n 
E - A= -a21 1-a22 … -a2n 
333333 ………………… 
333333 -an1 -an2 … 1-ann

Уравнения ( 6 ) содержат 2n переменных ( xi и yi ). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы ( 6 ) найти остальные n - переменных.

Будем исходить из заданного ассортиментного вектора  У = ( y1 , y2 , … , yn ) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = ( х1 , х2 , … хn ).

Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной системы, состоящей из двух производственных отраслей:

Табл. 2

№ отрас № отрас	Потребление 1 2	Итого затрат	Конечный продукт	Валовый продукт
1	0.2 1           0.4 2	260	240	500
2	0.55 160           0.1 160	315	85	400
Итого затрат в  k-ю отрасль …	375 200	575 575

 

Пусть исполнение баланса за предшествующий период характеризуется  данными, помещенными в табл.2

Рассчитываем по данным этой таблицы коэффициенты прямых затрат:

100 160 275 40 а11 = –––– = 0.2 ; а12 = –––– = 0.4 ; а21 = –––– = 0.55 ; а22 = –––– = 0.1 500 400 500 400

Эти коэффициенты записаны в табл.2 в углах соответствующих  клеток.

Теперь может  быть записана балансовая модель ( 6 ), соответствующая данным табл.2

 
х1 - 0.2х1 - 0.4х2 = у1 
х2 - 0.55х1 - 0.1х2 = у2 
 
Эта система двух уравнений может быть использована для определения х1 и х2 при заданных значениях у1 и у2, для использования влияния на валовый выпуск любых изменений в ассортименте конечного продукта и т.д. 
Так, например, задавшись у1=240 и у2=85, получим х1=500 и х2=400, задавшись у1=480 и у2=170, получим х1=1000 и х2=800 и т.д. 

 

 

РЕШЕНИЕ БАЛАНСОВЫХ УРАВНЕНИЙ 
С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ. 
КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ.

Вернемся снова  к рассмотрению балансового уравнения  ( 6 ).

Первый вопрос, который возникает при его  исследование, это вопрос о существование  при заданном векторе У>0 неотрицательного решения х>0, т.е. о существовании вектор-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечного продукта У. Будем называть такое решение уравнения ( 6' ) допустимым решением.

Заметим, что при  любой неотрицательной матрице А утверждать существование неотрицательного решения нельзя.

Так, например, если

0.9 0.8 0.1 -0.8 А= , то Е - А = 
0.6 0.9 -0.6 0.1 
и уравнение ( 6' ) запишется в виде 
0.1 -0.8 х1 у1  
-0.6 0.1 х2 у2

или в развернутой  форме

0.1х1 - 0.8х2 = у1 ( a ) 
-0.6х1 + 0.1х2 = у2 
 
Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение

-0.5х1 - 0.7х2 = у1 + у2, 
которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х1 и х2, если только у1>0 и у2>0 ( кроме х1=х2=0 при у1=у2=0 ).

Наконец уравнение  вообще может не иметь решений  ( система ( 6 ) – несовместная ) или иметь бесчисленное множество решений ( система ( 6 ) – неопределенная ).

Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ на поставленный вопрос.

Теорема. Если существует хоть один неотрицательный вектор х>0, удовлетворяющий неравенству ( Е - А )·х>0, т.е. если уравнение ( 6' ) имеет неотрицательное решение x>0, хотя бы для одного У>0, то оно имеет для любого У>0 единственное неотрицательное решение.

При этом оказывается, что обратная матрица ( Е - А ) будет обязательно неотрицательной.

Из способа образования  матрицы затрат следует, что для  предшествующего периода выполняется  равенство ( Е -А )·х' = У', где вектор-план х' и ассортиментный вектор У' определяются по исполненному балансу за прошлый период, при этом У'>0. Таким образом, уравнение ( 6' ) имеет одно неотрицательное решение x>0. На основании теоремы заключаем, что уравнение ( 6' ) всегда имеет допустимый план и матрица ( Е - А ) имеет обратную матрицу.

Обозначив обратную матрицу ( Е - А )-1 через S = || sik+ ||, запишем решение уравнения ( 6'' ) в виде

 
_ _ 
х = S·У ( 7 ) 
 
Если будет задан вектор – конечный продукт У и вычислена матрица S = ( E - A )-1, то по этой формуле может быть определен вектор-план х.

Решение ( 7 ) можно представить в развернутой форме:

 
x1 = S11y1 + S12y2 + … + S1nyn 
x2 = S21y1 + S22y2 + … + S2nyn 33333( 8 ) 
……………………………… 
xn = Sn1y1 + Sn2y2 + … + Snnyn

ПОЛНЫЕ ВНУТРИПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ 
ЗАТРАТЫ.

Выясним экономический  смысл элементов Sik матрицы S.

Пусть производится только единица конечного продукта 1-й отрасли, т.е.

 
1 
_ 0 
У1 = : 
 
0

Подставляя этот вектор в равенство ( 7 ), получим

 
1 S11 
_ 0 S21 _  
х = S : = : = S1  
0 Sn1

задавшись ассортиментным вектором,

 
 
0 
_ 1  
У2 = 0 
: 
0

получим

 
0 S12 
_ 1 S22 _  
х = S : = : = S2 
0 Sn2

Аналогично, валовый выпуск х, необходимый для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, составит

 
0 S1k 
_ : S2k _  
х = S 1 = : Sk55555 ( 9 ) 
: Snk  
0

 
Из равенства ( 9 ) вытекает следующее:

Чтобы выпустить  только единицу конечного продукта k-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить х1=S1k, во 2-й х2=S2k и т.д., в i-й отрасли выпустить xi=Sik и, наконец, в n-й отрасли выпустить xn=Snk единиц продукции.

Так при этом виде конечного продукта производства только единица k-го продукта, то величины S1k, S2k, …, Sik, …, Snk, представляют собой коэффициенты полных затрат продукции 1-й, 2-й и т.д., n-й отраслей идущей на изготовление указанной единицы k-го продукта. Мы уже ввели раннее коэффициенты прямых затрат a1k, a2k, …, aik, …, ank на единицу продукции k-й отрасли, которые учитывали лишь ту часть продукции каждой отрасли, которая потребляется непосредственно k-й отраслью. Но, очевидно, необходимо обеспечить замкнутый производственный цикл. Если бы продукция i-й отрасли поступала бы только в k-ю отрасль в количестве aik, то производство k-й отрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо потребовалось еще продукты 1-й отрасли ( a1k ), 2-й отрасли (a2k ) и т.д. А они в свою очередь не смогут работать, если не будут получать продукцию той же i-й отрасли ( ai1, ai2, … и т.д.). Проиллюстрируем сказанное на примере табл.2

Пусть нас не интересует выпуск для внешнего потребления  продукции 2-й отрасли ( k=2 ) и мы хотим определить затраты продукции 1-й отрасли на единицу этой продукции. Из табл.2 находим, что на каждую единицу продукции 2-й отрасли ( х2=1 ) затрачивается: продукции 1-й отрасли a12=0.4 и 2-й отрасли a22=0.1.

Таковы будут  прямые затраты. Пусть нужно изготовить у2=100. Можно ли для этого планировать выпуск 1-й отрасли х1=0.4100=40 ? Конечно, нельзя, т.к. необходимо учитывать, что 1-я отрасль часть своей продукции потребляет сама ( а11=0.2 ), и поэтому суммарный ее выпуск следует скорректировать: х1=40+0.240=48. Однако и эта цифра неверна, т.к. теперь уже следует исходить из нового объема продукции 1-й отрасли – х1'=48 и т.д. Но дело не только в этом. Согласно табл.2 продукция 2-й отрасли также необходима для производства и 1-й и 2-й отраслей и поэтому потребуется выпускать больше, чем у2=100. Но тогда возрастут потребности в продукции 1-й отрасли. Тогда достаточно обратиться к составленной систем уравнений, положив у1=0 и у2=1 ( см п.2 ):