Контрольная работа по "Матиматике"

Ячейка а4,b4 становится свободной.

M =

0

 

	200	400	100	200
200				200
100		100		0
200	200	0
400		300	100

Итерация: 4 Рабочая матрица затрат с пересчитанными потенциалами и оценкам.

	b1	b2	b3	b4
a1	2	6	12	2	u1= 2
a2	1	3	6	4	u2= 4
a3	3	5	0	0	u3= 6
a4	2	4	3	3	u4= 5
	v1= -3	v2= -1	v3= -2	v4= 0

В приведенной выше таблице нет отрицательных оценок (план улучшить нельзя), следовательно достигнуто оптимальное решение.

	200	400	100	200
200				200     2
100		100     3		0     4
200	200     3	0     5
400		300     4	100     3

Общие затраты на перевозку всей продукции, для оптимального плана составляют: 

Pопт=

200*2+100*3+0*4+200*3+0*5+300*4+100*3=2800

 

Ответ: Ропт=2800

 

ЗАДАЧА 4

 

Решение:

1. Проверим продуктивность матрицы  затрат

Существует несколько критериев продуктивности матрицы А.

1. Матрица  А продуктивна, если максимум  сумм элементов ее столбцов  не превосходит единицы, причем  хотя бы для одного из столбцов  сумма элементов строго меньше  единицы.

2. Для  того чтобы обеспечить положительный  конечный выпуск по всем отраслям  необходимо и достаточно, чтобы  выполнялось одно из перечисленных  ниже условий:

3. Определитель  матрицы (E - A) не равен нулю, т.е. матрица (E- A) имеет обратную матрицу (E - A)-1.

4. Наибольшее  по модулю собственное значение  матрицы А, т.е. решение уравнения |λE - A| = 0 строго меньше единицы.

5. Все  главные миноры матрицы (E - A) порядка  от 1 до n, положительны.

 

Матрица A имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности (при любом j сумма элементов столбца ∑aij ≤ 1.

I. Определим  матрицу коэффициентов полных  материальных затрат приближенно, учитывая косвенные затраты до 2-го порядка включительно.

а) Матрица коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка равна:

A1 = A2 = 02;03;01;03;01;02;01;02;03 • 02;03;01;03;01;02;01;02;03 = 014;011;011;011;014;011;011;011;014

б) Матрица коэффициентов косвенных затрат 2-го порядка равна:

A2 = A3 = 02;03;01;03;01;02;01;02;03 • 014;011;011;011;014;011;011;011;014 = 0072;0075;0069;0075;0069;0072;0069;0072;0075

Матрица коэффициентов полных затрат приближенно равна:

B = E + A + A2 + A3 = 1412;0485;0279;0485;1309;0382;0279;0382;1515

II. Определим  матрицу коэффициентов полных  затрат точно с помощью формул  обращения невырожденных матриц.

Коэффициент полных затрат (bij) показывает, какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли.

Полные затраты отражают использование ресурса на всех этапах изготовления и равны сумме прямых и косвенных затрат на всех предыдущих стадиях производства продукции.

а) Находим матрицу (E-A):

E-A = 08;-03;-01;-03;09;-02;-01;-02;07

б) Вычисляем обратную матрицу (E-A)-1:

Запишем матрицу в виде:

08;-03;-01;-03;09;-02;-01;-02;07

Главный определитель

∆=0.8•(0.9•0.7-(-0.2•(-0.2)))-(-0.3•(-0.3•0.7-(-0.2•(-0.1))))+(-0.1•(-0.3•(-0.2)-0.9•(-0.1)))=0.388

Определитель отличен от нуля, следовательно матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу A-1.

Транспонированная матрица.

BT=08;-03;-01;-03;09;-02;-01;-02;07

Найдем алгебраические дополнения.

A11=-11+1|09;-02;-02;07

∆1,1=(0.9•0.7-(-0.2•(-0.2)))=0.59

A12=-11+2|-03;-02;-01;07

∆1,2=-(-0.3•0.7-(-0.1•(-0.2)))=0.23

A13=-11+3|-03;09;-01;-02

∆1,3=(-0.3•(-0.2)-(-0.1•0.9))=0.15

A21=-12+1|-03;-01;-02;07

∆2,1=-(-0.3•0.7-(-0.2•(-0.1)))=0.23

A22=-12+2|08;-01;-01;07

∆2,2=(0.8•0.7-(-0.1•(-0.1)))=0.55

A23=-12+3|08;-03;-01;-02

∆2,3=-(0.8•(-0.2)-(-0.1•(-0.3)))=0.19

A31=-13+1|-03;-01;09;-02

∆3,1=(-0.3•(-0.2)-0.9•(-0.1))=0.15

A32=-13+2|08;-01;-03;-02

∆3,2=-(0.8•(-0.2)-(-0.3•(-0.1)))=0.19

A33=-13+3|08;-03;-03;09

∆3,3=(0.8•0.9-(-0.3•(-0.3)))=0.63

Обратная матрица.

B-1=1;0.388059;023;015;023;055;019;015;019;063

B-1=1521;0593;0387;0593;1418;049;0387;049;1624

 

2. Найдем величины валовой продукции 3-х отраслей

X = B-1•Y = 1521;0593;0387;0593;1418;049;0387;049;1624 • 240;20;60 = 400;200;200

 

3. Для определения элементов первого квадранта материального межотраслевого баланса воспользуемся формулой xij = aij • Xj.

Составляющие третьего квадранта (условно-чистая продукция) находятся как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.

Межотраслевой баланс состоит из четырех квадрантов (табл.). Первый квадрант отражает межотраслевые потоки продукции. Второй характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода.

Третий представляет национальный доход как стоимость условно-чистой продукции (Zj), равной сумме амортизации (cj), оплаты труда (vj) и чистого дохода j-й отрасли (mj). Четвертый квадрант показывает конечное распределение и использование национального дохода.

 

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли			Конечный продукт	Валовый продукт
	1	2	3
1	80	60	20	240	400
2	120	20	40	20	200
3	40	40	60	60	200
Чистый доход	160	80	80	320
Валовый продукт	400	200	200		800

 

Проверим основное балансовое соотношение по формуле основного балансового соотношения ∑yi = ∑zj. (320)

Равновесные цены определим по формуле Р=BTV, а доли добавленной стоимости рассчитаем по формуле vj=zj/xj или как vj=1-∑aij. Таким образом, доли добавленной стоимости по отраслям равны:

V1 = 0.4

V2 = 0.4

V3 = 0.4

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

 

1. Владимирский Б.М., Горстко А.Б., Ерусалимский Я.М. Математика: Общий курс. - СПб.: Издательство "Лань", 2002. - 960 с.
2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник / Под общ. ред. д.э.н., проф. А.В. Сидоровича; МГУ им. М.В. Ломоносова. - 3-е изд., перераб. - М.: Издательство "Дело и Сервис", 2001. - 368 с.
3. Лавриненко В.Н. Исследование социально-экономических и политических процессов / В.Н. Лавриненко, Л.М.Путилова – М.: ИНФРА-М, 2010.
4. Трояновский В.М. Математическое моделирование в менеджменте: Учебное пособие. - М.:Русская деловая литература, 1999. - 240 с.
5. Рой О.М. Исследования социально-экономических и политических процессов: практикум/ О.М. Рой, A.M. Киселева.- Питер, 2007.- 238 с.
6. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Т. Математические методы и модели в управлении: Учебное пособие. - М.: Дело, 2000. - 440 с.