Контрольная работа по "Экономико-математическое моделирование"

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 12 Сентября 2013 в 08:32, контрольная работа

Краткое описание

В связи с развитием техники, ростом промышленного производства и с появлением ЭВМ все большую роль начали играть задачи отыскания оптимальных решений в различных сферах человеческой деятельности. Основным инструментом при решении этих задач стало математическое моделирование - формальное описание изучаемого явления и исследование с помощью математического аппарата.
Искусство математического моделирования состоит в том, чтобы учесть как можно больше факторов по возможности простыми средствами. Именно в силу этого процесс моделирования часто носит итеративный характер. На первой стадии строится относительно простая модель и проводится ее исследование, позволяющее понять, какие из существенных свойств изучаемого объекта не улавливаются данной формальной схемой. Затем происходит уточнение, усложнение модели.

Содержание

Двойственные задачи линейного программирования.

3

2. Задача 3.1

6

3. Задача 7.2

9

4. Задача 10.2

12

Используемая литература

Прикрепленные файлы: 1 файл

Контрольная ЭММ_2 (1).docx

— 286.86 Кб (Скачать документ)

   В последней строке Z нет отрицательных коэффициентов, и в соответствии с критерием оптимальности, мы достигли точки max.

 

  То есть Zmax достигается при X1=12, X2=18 и Zmax=1080.

 

Симметричная двойственная задача линейного программирования (ДЗЛП):

                      

при ограничениях:


                  12y1+4y2+3y3+y4   ³ 30

                  4y1+4y2+12y3-y4   ³ 40                 (2)

                    y1³0,y2³0,y3³0,y4³0

 

Соответствие между переменными, при котором базисным переменным одной задачи отвечают свободные  переменные другой задачи:

 

 

 

 

 

 

 


 

    По основной теореме  двойственности, задача (2) имеет решение и            Smin= =Zmax=1080. С учетом   и второй теоремы двойственности оптимальное решение задачи (2) находится из условия:

 

y1=0


y2=20/3

y3=10/9

y4=0             

                  

                     12∙ (12y1+4y2+3y3+y4 - 30) = 0


                      18∙ (4y1+4y2+12y3-y4 - 40) = 0

                     y1∙ (12∙12+4∙18-300) = 0                 ó

                     y2∙ (4∙12+ 4∙18 -120) = 0

                      y3∙ (3∙12+ 12∙18-252) = 0

                      y4∙ (12-18-0)=0

 

   Решение можно найти также  на основании правила соответствия  между переменными с учетом  последней симплексной таблицы:  и в последней строке (выделено жирным) имеем: .

  Таким образом,  и Smin= 1080 – решение ДЗЛП.

 

Вывод: Оптимально производить 12 единиц изделий вида А и 18 единиц изделия вида В. Тогда прибыль максимальна и составит Zmax=1080 ден.ед.

 

 

 

 

  1. Задача 7.2 на тему «модели динамического программирования»

Планируется деятельность двух отраслей производства на n лет. Начальные ресурсы =10000 у.е. Средства х, вложенные в I отрасль в начале года, дают в конце года прибыль и возвращаются в размере <x; аналогично для II отрасли функция прибыли равна , а возврата - , причем <х. В конце года все возвращенные средства заново перераспределяются между I и II отраслями, новые средства не поступают, прибыль в производство не вкладывается.

Требуется распределить имеющиеся средства между двумя отраслями производства на четыре года так, чтобы суммарная прибыль от обеих отраслей за это время оказалась максимальной.

Необходимо: 1). Построить модель динамического  программирования для этой задачи и  вычислительную схему; 2). Решить задачу при условии, что  =0,6х, =0,5х, =0,7х, =0,8х, n=4.

 

Решение:

 

   Управление – выделение  средств каждой из двух отраслей  в очередном году. Решения принимаются  в начале каждого из 4-х лет.  Вся процедура делится на шаги: номер шага – номер года. Параметры состояния к началу k-ого года - ( ) – количество средств, подлежащих распределению. Переменных управления на каждом шаге две:

  - количество средств, выделенных 1-ой отрасли;

  - количество средств, выделенных 2-ой отрасли.

Так как все  средств распределяется, то , откуда .

Таким образом, управление на k-ом шаге зависит от одной переменной , то есть .

Уравнения состояний  выражают остаток средств, возвращенных в конце k-ого года.

Показатель эффективности  k-ого шага – прибыль, полученная в конце k-ого года от обеих отраслей:  .

Суммарный показатель эффективности  – прибыль за 4 года:

.

Обозначим - условная оптимальная прибыль за лет, начиная с k-ого года 4-ого года включительно, при улови, что имеющиеся на начало k-ого года средства в дальнейшем распределялись оптимально. Тогда оптимальная прибыль за 4 года составит .

Уравнения Беллмана:

 

 

    (
)

 

в нашем случае примут вид:

 

 

    (
)

 

Проведем условную оптимизацию.

 

4 шаг. Функция - линейная, возрастающая и максимум достигается на конце интервала и, следовательно,   при .

 

 

3 шаг: . Так как , то

.

Функция - линейная, возрастающая и максимум достигается на конце интервала и, следовательно,   при .

 

 

2 шаг: . Так как , то

.

Функция - линейная, убывающая и максимум достигается при : при .

 

 

 

 

1 шаг: . Так как , то

.

Функция - линейная, убывающая и максимум достигается при : при .

 

Условная оптимизация  закончена. Получили: .

Распределение средств по годам:

1. .

2. .

3. .

4. .

 

Вывод: Оптимальная прибыль за 4 года, полученная от 2 отраслей составит 15528 у.е. при вложенных 10000  у.е. Распределение средств по годам для 1 отрасли – 0,0,6400,4480, для 2 отрасли – 10000,8000,0,0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Задача 10.2 на тему «модели управления запасами»

 

Кондитерское  предприятие торгует вразвес  своими тортами. Каждый килограмм торта приносит 2 ден. ед. прибыли. Все торты можно продать на следующий день со скидкой 0,2 ден.ед. На основании опыта получено распределение спроса на торты, представленное в таблице, где r- спрос, а p(r) – статистическая вероятность. Найти оптимальную дневную выработку тортов.

 

r

0

1

2

3

4

5

6

p(r)

0,1

0,2

0,2

0,3

0,1

0,1

0,0


 

 

 

Решение:

 

       В большинстве  задач с запасами участвуют  различные случайные величины: спрос со стороны клиентов, сроки доставки товара поставщиками. В то же время вводятся издержки хранения. Товарам не дают залежаться: их пытаются распродать; наконец такая задача может быть объектом математического рассмотрения лишь тогда, когда определены издержки от нехватки (товарного голода), т. е. объективно - сумма денег, убыток, проистекающий из-за неудовлетворенного спроса (эта оценка часто бывает очень субъективной).

Учесть все элементы одновременно достаточно трудно, поэтому решим  задачу определения спроса на предметов с вероятностью , зададим издержки хранения и нехватки , относящиеся к товару данного вида. Допустим, что за промежуток времени , в течение которого запас совершает эволюцию, его изменения подчинены линейному закону. Тогда запаса было либо достаточно, чтобы удовлетворить спрос , и к концу периода мы будем иметь остаток , либо запас был недостаточен, и образуется нехватка .

 В первом случае средний  запас равен:  .

  Во втором случае весь  запас будет потрачен за период  времени  , причем в силу линейности изменения запаса имеем . За период времени средний запас составит , а за весь период времени средний запас составит . Во втором случае нехватка товара имеет место в течение времени , причем и ее средний уровень равен .  Тогда за весь период средняя нехватка составит .

 Если спрос  имеет распределение вероятностей , то до тех пор, пока , издержки хранения будут равны:  .

Если спрос  , то издержки хранения будут равны:  и к ним добавятся издержки от нехватки: .

Считая, что спрос не ограничен, суммируя по , найдем общие издержки:

                       

Если существует такая величина запаса , что и , то и будет оптимальным количеством запаса, на котором следует остановиться. Установлено, что издержки минимальны при величине запаса , когда , где , а .

  В нашем случае издержки  за хранение составляют  ден.ед. – фактически это потери при продаже на следующий день. Издержки от нехватки ден.ед. -  фактически это потерянная прибыль.

Для определения оптимального запаса составим расчетную таблицу:

 

0

0

0,1

-

-

-

0,0

-

1

1

0,2

0,200

0,445

0,2225

0,1

0,3225

2

2

0,2

0,100

0,245

0,3675

0,3

0,6675

3

3

0,3

0,100

0,145

0,3625

0,5

0,8625

4

4

0,1

0,025

0,045

0,1575

0,8

0,9575

5

5

0,1

0,020

0,020

0,0900

0,9

0,9900

≥6

≥6

0

0,000

0,000

0,0000

1,0

1,0000


 

С учетом того, что  , видим, что , так как

, то есть .

 

Вывод: Оптимальная дневная выработка тортов - 3 штуки.

 

 

 

  1. Список использованных источников

 

  1. Шапкин А.С., Мазаева Н.П. Математические методы и модели исследования операций: Учебник. – 3-е изд. – М.: ИТК «Дашков и Ко», 2006. – 400 с.
  2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных  Ю.Н. Математические методы в экономике. - М.: ДИС. 1997.
  3. Исследование операций в экономике / Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.
  4. Акулич И.А. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.:  Высш. школа, 1993. – 336 с.
  5. Солодовников А.С. «Введение в линейную алгебру и линейное программирование» Москва, «Просвещение», 1996 г.

 


Информация о работе Контрольная работа по "Экономико-математическое моделирование"