Контрольная работа по "Эконометрике"

Оглавление

Задание 1……………………………………………………………………….3

Задание 2……………………………………………………………………….7

Задание 3………………………………………………………………………10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1

Типовые задачи оптимизации и их экономико-математические модели

     Не для всякой экономической  задачи нужна своя собственная  модель. Многие хозяйственные ситуации  с содержательной и математической  точек зрения однотипны и могут  описываться одинаковыми моделями. В оптимальном программировании  существует ряд типовых моделей, к которым приводятся модели  многих конкретных задач. (1, с.30)

     ЗАДАЧА О РАСКРОЕ [cut problem, trim problem] — частный случай задач о комплексном использовании сырья, обычно сводящихся к методу линейного программирования.

     Выработанный математиками метод решения З. о р. помогает с наименьшими отходами использовать прутки и листы металла, листы стекла, картона и других материалов при раскрое их на заданное количество деталей различных размеров.

     Постановку задачи в общем виде можно сформулировать так: требуется найти минимум линейной формы, выражающей число израсходованных листов материала (прутков и т. п.) по всем j-м способам их раскроя:

Модель:

при условии, что переменные xj удовлетворяют ограничению

     Это означает, что соблюдена комплектность: все необходимые заготовки сделаны в достаточном числе ri (aij — число заготовок i-го типа при j-м способе раскроя; xj — число листов, раскроенных j-м способом). Наконец, принимается условие неотрицательности: xj ≥ 0, т. е. число листов не может быть отрицательно.

     Способы постановки и решения таких задач хорошо отработаны. Их можно применять на любом предприятии. При правильной постановке З. о р. применение метода линейного программирования гарантирует сокращение отходов до минимально возможного. [3]

      ЗАДАЧА О СМЕСИ – такие задачи возникают при выборе оптимального варианта смешения исходных ингредиентов для получения смеси с заданными свойствами.

     Постановку задачи в общем виде можно сформулировать так: необходимо приготовить смесь с заданными свойствами (aij – содержание i – го компонента в j – го ингредиента) и минимальными суммарными затратами на ее производство.

Модель:

 

при условии, что переменные xj удовлетворяют ограничению

 

 

 

                        [1 с.38]

     ЗАДАЧА ОБ ИНВЕСТИЦИЯХ – задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. В этой задаче приняты следующие обозначения:

Mj – средняя ожидаемая доходность j – ценной бумаги;

Vj = σjj – дисперсия случайной доходности j – ценной бумаги;

σij – ковариация дохода от ценных бумаг i и j;

∆j – верхняя граница доли, которую ценные бумаги j – го вида могут составлять в структуре портфеля;

     Постановку задачи в общем виде можно сформулировать так: необходимо сформировать оптимальный портфель ценных бумаг минимального риска при условии, что обеспечивается заданное значение эффективности портфеля mp

Модель:

Min vp =

При условиях:

А) обеспечивается заданное значение эффективности портфеля mp, т.е.

;

Б) верхняя граница доли, которую ценные бумаги j – го вида могут составлять в структуре портфеля, составляет не более ∆j, т.е.

xj ∆j,      j = 1, n;

В) весь выделенный для инвестиций капитал в целях моделирования принимается за единицу, т.е.

 

Xj 0,    j = 1, n.

     Получена задача нелинейного  программирования (НЛП), нелинейной  является целевая функция. Данная  модель – это задача квадратичного  программирования, и для нее локальное  решение обязательно является  глобальным решением.      [1, с.42]

ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

     Наиболее изученными  задачами оптимизации являются  задачи линейного программирования (ЗЛП), для которых разработан  универсальный метод решения  – метод последовательного улучшения  плана (симплекс – метод), т.е. любая  задача решается этим методом.

     В наиболее общем  виде задача (модель) линейного программирования  записывается следующим образом:

F (x1,x2,…,xn) = c1x1 + c2x2+…+cnxn

при ограничениях

a11x1+a12x2+…+a1nxn {, =, }b1,

a21x1+a22x2+…+a2nxn {, =, }b2,

……………………………………..

am1x1+am2x2+…+amnxn {, =, }bm,

xj             j = 1,2,…,n,

где aij, bi, cj (i=1,2,…,m,   j = 1,2,…, n) – заданные постоянные величины.

                      [1 с.48]

ЗАДАЧИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

     В практической деятельности  часто встречаются задачи, заключающиеся  в поиске лучшего (оптимального) решения при наличии различных  несводимых друг к другу критериев оптимальности. Эти задачи могут носить как линейный, так и нелинейный характер.

     Задачи многокритериальной оптимизации  возникают в тех случаях, когда  имеется несколько целей, которые  не могут быть отражены одним  критерием. Требуется найти точку  области допустимых решений, которая  минимизирует или максимизирует  все такие критерии.

     Обозначим i – й частный критерий через Zi (X) = (Z1(X), Z2(X),…Zm(X),) →max,                     X ϵ Q (оптимальный вектор по Парето) [2 с.108-109]

Задание 2

     Решите графическим методом типовую  задачу оптимизации. Осуществите  проверку правильности решения  с помощью средств MS Excel (надстройка Поиск решения)

.     2.2. Сельскохозяйственное предприятие  для кормления животных использует  два вида корма (1 и 2). В дневном  рационе животного должно содержаться  не менее 6 единиц питательного  вещества А и не менее 12 единиц  питательного вещества В.

Питательное вещество	количество питательных веществ в 1 кг. корма
	1		2
А	2		1
В	2		4
Цена 1 кг.корма, руб.	0,2		0,3

 

? Используя  данные таблицы, определите, какое  количество корма надо расходовать  ежедневно на одно животное, чтобы  затраты были минимальными.

Решение:

X1 – количество корма (кг) 1 вида;

X2 – количество корма (кг) 2 вида

     Построим модель задачи:

Целевая функция: F(x) = 0,2x1 + 0,3x2

Ограничения:   2x1 + 1x2 >=6;     2x1 + 4x2 >=12;     x1 ,x2 >=0.

     Построим  экономико-математическую модель задачи:

F(x) = 0,2x1 + 0,3x2→min

                                                         

При этом х1 ≥ 0, х2 ≥ 0

     Решим задачу графическим методом.

1. Построим область допустимых решений:

Ограничения х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 задают первую координатную четверть плоскости х1Ох2. Определим полуплоскость, соответствующая каждому неравенству.

А) Неравенство  2x1 + 1x2 >=6 определяет полуплоскость, ограниченную прямой I: 2х1 + х2 = 6. Она проходит через точки (0;6) и (3;0).

X1	0	3
X2	6	0

В качестве контрольной точки возьмем О (0;0), т.е. х1 = 0, х2 = 0 и подставим ее координаты в левую часть неравенства:

0 ≤ 6 – истина, значит искомая  полуплоскость находится с той  же стороны, что и контрольная  точка. 

     Построим прямую по двум точкам (0; 3) и (6; 0). На графике обозначим  ее цифрой I.

Б) Неравенство 2x1 + 4x2 >=12 определяет полуплоскость, ограниченную прямой II: 2x1 + 4x2 =12. Она проходит через точки (0;3) и (6;0).

X1	0	6
X2	3	0

 

В качестве контрольной точки возьмем О (0;0), т.е. х1 = 0, х2 = 0 и подставим ее координаты в левую часть неравенства:

0 ≤ 12 - истина, значит, искомая полуплоскость  находится с той же стороны, что и контрольная точка. 

      Построим прямую по двум точкам (0; 6) и (3; 0). На графике обозначим  ее цифрой II.

     Пересечение всех найденных полуплоскостей  определяет область допустимых  решений D задачи.

2. Построим линию уровня.

Приравняем Целевую функцию постоянной величине a: 0,2x1 + 0,3x2 = а

     Возьмем  a = 0,6 , чтобы линия уровня La: 0,2х1 + 0,3х2 = 0,6   пересекала ОДР.  Она проходит через точки с координатами (3;0) и (0;2). На графике обозначена как «Линия уровня».

3. Построим   вектор  градиент  

Координаты вектора определяются коэффициентами целевой функции F=0,2х1 + 0,3х2 ¯с = (0,2; 0,3) . Начало вектора находится в точке (0;0), а точка с координатами  (0,2;0,3)  является   концом    вектора. Для наглядности я увеличила координаты в десять раз, т.е. на графике: (2; 3) и обозначен как «Вектор»

  График:

4. Найдем оптимальное решение.

     Для нахождения координат точки минимума решаем систему.

 

3х2=6 → х2=2

Подставляем в систему и получаем, что х1=2.

Ответ: (2;2).

     Ответ: чтобы затраты были минимальными  необходимо расходовать 2ед. первого  корма и 2 ед. второго корма.

     Если данную задачу решать  на максимум, то задача не имеет  решения, так как целевая функция  не ограничена сверху.

Задание 3

     Рассчитайте параметры моделей  экономически выгодных размеров  заказываемых партий.

     Цветочный магазин использует 600 глиняных цветочных горшков в  месяц. Годовая стоимость хранения  одного горшка составляет 1 руб. 50 коп. Стоимость одного заказа  – 150 руб. Магазин работает 365 дней  в году. Доставка заказа осуществляется  в течение одного дня.

? Определите:

а) экономичный объем заказа;

б) годовые расходы на хранение запасов;

в) период поставок;

г) точку заказа.

Решение:

1.

2. Найдем количество горшков в одном заказе:

 

3. Посчитаем общие годовые затраты:

 

4. Рассчитаем частоту заказов (кол-во циклов):

M/Qопт = 7200/1200 6 (в год)

5. Периодичность поступления заказов (длительность цикла):

Qопт/М = 1200/7200 0,167 (года)

Qопт/М*Т = 1200/7200*365 60,8 (дней)

6. Посчитаем точку заказа:

x= t*M/T = 1*7200/365 20 (горшков)

7. Время заказа определим из пропорции:

кол-во дней		кол-во пакетов
61		1200
?		1180

t заказа = 61*1180/1200 ≈ 60 (дней)

 

Рис.1 Расчеты в Excele

 

Рис.2 Таблица циклов

 

Рис.3. Периодичность циклов

 

8. Построим график функции затрат:

Таблица 1.

 

Функции затрат.

Q	заказ KM/Q	хранение hQ/2	Z
1000	1080,00	750	1830,00
1050	1028,57	787,5	1816,07
1100	981,82	825	1806,82
1150	939,13	862,5	1801,63
1200	900,00	900	1800,00
1250	864,00	937,5	1801,50
1300	830,77	975	1805,77
1350	800,00	1012,5	1812,50
1400	771,43	1050	1821,43
1450	744,83	1087,5	1832,33