Элементы финансовой математики

4.6.  Модели операций с облигациями

 

      Облигация представляет собой долговую ценную бумагу, которая является свидетельством о предоставлении займа и дает ее владельцу право на получение определенного дохода (процентного или дисконта), но не дает право голоса. По истечении срока заем подлежит возврату держателю ценной бумаги. Облигации могут быть дисконтные и процентные. По дисконтным облигациям  доход представляет собой скидку с номинала. Цель операции с облигациями – использование одного из вариантов финансовых вложений для получения дохода и тем самым обеспечение защиты от обесценивания или роста капитала в условиях инфляции.

      Источниками дохода от инвестирования средств в  облигации являются выплачиваемые по ним проценты (купонные облигации), а также разница между ценой приобретения и их продажи или их номинальной стоимостью, по которой они выкупаются. В процессе  моделирования операций с облигациями применяют различные показатели.

      При расчете доходности покупки облигаций  используют понятие курса:                           

где P – цена облигации;

      N – номинальная стоимость облигации;

      Р_к – курс облигации.

      Цена  облигации при  заданном курсе  определяется по формуле

                                              .

      Если  по облигациям выплачиваются проценты (ставка i годовых) , то облигации называются процентными, а доход по каждой выплате определяется от ее номинальной стоимости:

                                                    

      Если  проценты по облигациям не выплачиваются, то источником дохода будет являться разность между ценой выкупа (номиналом) и ценой покупки, которая называется дисконтом, а такие облигации – дисконтными, например государственные краткосрочные обязательства (ГКО). Доход от таких облигаций составляет:

                                 

      Большое значение при работе с ценными  бумагами имеет такой показатель, как доходность. Доходность – это относительный показатель, который говорит о том, какой % прибыли приносит рубль инвестированных средств за год.

• Важно помнить. Доходность всегда выражается в процентах и всегда исчисляется за год.

      Доходность  облигации к погашению можно  определить по эквивалентной ставке простых процентов:

                     

где Т – число дней в году;

   t – число дней до погашения облигации;

   n – число периодов (если облигация на несколько лет);

      Доход от покупки долгосрочных облигаций  с выплатой процентов будет состоять из суммы полученных процентов и  разницы между ценой их погашения (номиналом) и ценой покупки.

      Если  проценты по облигациям выплачиваются  в конце срока, например, методом сложных процентов i_с, то сумма процентных денег при погашении облигации через n лет определяется выражением:

                                   

      Общий доход можно определить по формуле:

                 

• Важно помнить.  Не путайте понятие дохода и доходности. Доход – это прибыль, выраженная в денежных единицах, разница между полученным и инвестируемым капиталом. Доходность – это доход, выраженный в процентах и скорректированный на время.

      Пример  решения задачи.

      Средняя аукционная цена облигации 92 %, срок жизни 1 месяц. Первый покупатель приобрел за 93 %, продержал 10 дней и продал за 97 %, второй держал до погашения и погасил. Определить доходность к аукциону, к погашению, доходность, которую обеспечил себе каждый покупатель.

 Доходность  к аукциону: .

 Доходность  к погашению: .

 Доходность  первого покупателя: .

 Доходность  второго покупателя: .

      При определении общего дохода следует  учитывать возможность реинвестирования, если проценты выплачиваются периодически.

      Для решения задач по ценным бумагам необходимо знать следующие понятия:

      Ажио – превышение курса акции над ее номинальной стоимостью.

      Дисконт – разница между ценой размещения и номиналом.

      Задания для самостоятельной  работы.

1. Инвестор  приобрел облигации номиналом 1000 рублей по цене 100 % номинала и продал ее через 60 дней с ажио 5 %, не получив процентных выплат. Продолжительность года составляет в расчетах 360 дней. Определите среднегодовую доходность этой операции.
2. ГКО номиналом 100 тыс. рублей и сроком погашения 180 дней были куплены в момент их выпуска по курсу 88 %. Рассчитайте доходность купленных облигаций к погашению и текущую доходность к аукциону в результате продажи (количество дней в году 365).
3. Облигация куплена по курсу 85 % и будет погашена через 10 лет после покупки. Ежегодные купонные платежи (проценты) выплачиваются в конце года по ставке 5 % годовых от номинальной стоимости облигации. Рассчитайте доходность приобретения этой облигации.
4. Номинал облигации 5000 рублей. Облигация трехмесячная, куплена за 90 %, продана через 40 дней за 94 %. Покупатель держал до погашения. Кто обеспечил себе большую доходность?
5. Определить, за какую цену Вы должны купить облигацию, если желаете обеспечить себе доходность 60 % годовых. До момента погашения 73 дня.

                                   

      4.7.  Модели операций с акциями 

      Акция представляет собой долевую ценную бумагу, свидетельствующую о внесении определенной части в капитал акционерного общества, которая дает право на получение дохода и формальное участие в управлении предприятием. В зависимости от порядка начисления и выплаты дивидендов акции делят на привилегированные и обыкновенные.

      Привилегированные акции – это акции, держатель которых имеет право получения фиксированного дивиденда, но не имеет права голоса.

      Обыкновенные  акции – это акции, приносящие доход в зависимости от полученной предприятием прибыли и дающие право голоса на собраниях акционеров.

      Дивиденды (доход, выплачиваемый на одну акцию) по привилегированным акциям объявляются в фиксированных процентах ее номинальной стоимости и определяются по формуле:

                                                        

где f – годовая ставка дивиденда;

      N – номинальная стоимость акции;

      D₁ – дивиденды по одной привилегированной акции.

      Доход на одну обыкновенную акцию

                                              

где М₀ – количество обыкновенных акций;

      D_пр – дивиденд по всем привилегированным акциям: D_пр=М_пр*D₁;

      М_пр – количество привилегированных акций;

      ЧП – чистая прибыль или ее часть по решению собрания акционеров.

      Обычно  на выплату дивидендов по обыкновенным акциям тратится не весь доход, а только его часть (по решению собрания акционеров), поэтому величина выплачиваемого дивиденда определяется дивидендным выходом.

        Доходность по акциям определяется доходом от выплачиваемых дивидендов, а также разницей в цене покупки и продажи, что и определяет эффективность инвестиций.

                                              

где Р_а – цена покупки;

        Р₁ – цена продажи;

        D – дивиденды за время владения акцией.

      При анализе операций с акциями необходимо проводить расчеты по нескольким показателям, то есть различать разные виды доходности.

      К таким показателям относятся: доходность текущая, без налогообложения, которая определяется по формуле:

                                                      (4.11)

где Р_а – курсовая стоимость акции, которая рассчитывается в сравнении с банковской депозитной ставкой (i %):

                                                 

      Доходность  конечная, которая определяется суммой дивидендов и дополнительным доходом от перепродажи (в пересчете на один год):

                         (4.12)

      Пример  решения задачи.

      Инвестор приобрел акцию за 23 тыс. рублей. Номинал акции 20 тыс. рублей. По акции выплачивается фиксированный дивиденд 150 % годовых. Через 3 года инвестор продал ее за 20 тыс. рублей. Определить доходность на текущий момент для инвестора, доходность на текущий момент для покупателя и полную доходность.

      Решение.

      Используя приведенные выше формулы (4.11) и (4.12), получим:

      доходность на текущий момент для инвестора:

                 .

      доходность на текущий момент для покупателя:

                 .

      Полная  доходность в пересчете на один год: 

              .

      Пользуясь приведенными моделями, можно сравнивать выгодность финансовых операций с акциями и, следовательно, решать задачу выбора инвестиционного проекта. 

      Задания для самостоятельной  работы.

1. Банк объявил, что дивиденды по его акциям за год составили 200 % годовых по обыкновенным акциям и 300 % годовых – по привилегированным акциям. Определите сумму дивиденда на одну привилегированную акцию номиналом 5000 рублей и одну обыкновенную акцию номиналом 1000 рублей.
2. Фирма имеет пакет из 80 облигаций номиналом 1000 рублей, купоном 8 %, дисконтом 15 % и 35 облигаций номиналом 500 рублей, купоном 10 %, ажио 5 %. Решила инвестировать полученную годовую прибыль в акции курсовой стоимостью 100 рублей. Рассчитайте, какое количество акций можно приобрести на полученный доход.
3. Акция номинальной стоимостью 500 рублей приобретена по курсу 2500 рублей. Дивиденд по акции составляет 200 рублей. Определите конечную годовую доходность.

 

     Что означают следующие  термины и понятия?