Экономическое прогнозирование

 

ЧАСТЬ 1. ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ

Исходные  данные запишем в таблице

x	y
200	110
250	120
300	135
350	140
400	150
450	159
500	164
550	170
600	176
650	180
700	190

Х – фактор-признак, доход семьи  в тыс. руб.

У – расход на потребление определённого  товара в тыс. руб.

 

1.1 Линейная  регрессия 

Уравнение парной регрессии.

Линейное  уравнение регрессии имеет вид  y = bx + a Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение).

Для оценки параметров a и b - используют МНК. Метод наименьших квадратов дает наилучшие оценки параметров уравнения регрессии.

Формально критерий МНК можно записать так:

S = ∑(y_i - y^*_i)² → min

Система нормальных уравнений.

a•n + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x² = ∑y•x

Для наших данных система уравнений  имеет вид 

11a + 4950 b = 1694

4950 a + 2502500 b  = 804150

Из  первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:

Получаем  эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.1522, a = 85.5182

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение  регрессии):

y = 0.1522 x + 85.5182

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу

x	y	x2	y2	x • y
200	110	40000	12100	22000
250	120	62500	14400	30000
300	135	90000	18225	40500
350	140	122500	19600	49000
400	150	160000	22500	60000
450	159	202500	25281	71550
500	164	250000	26896	82000
550	170	302500	28900	93500
600	176	360000	30976	105600
650	180	422500	32400	117000
700	190	490000	36100	133000
4950	1694	2502500	267378	804150

 

 

 

 

 

Рассчитаем  выборочные средние.

 

 

 

Выборочные  дисперсии:

 

 

Среднеквадратическое  отклонение

 

 

Для анализа  тесноты связи между факторами  рассчитаем коэффициент корреляции

- связь между признаком Y фактором X  весьма высокая и прямая.

Коэффициенты  регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х. Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности.

Средний коэффициент эластичности E показывает, на сколько процентов в среднем  по совокупности изменится результат уот своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения.

Коэффициент эластичности находится по формуле:

 

 

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится  менее чем на 1%. Другими словами - влияние Х на Y не существенно.

Оценим  качество уравнения регрессии с  помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее  отклонение расчетных значений от фактических:

 

Ошибка  аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует  о хорошем подборе уравнения  регрессии к исходным данным.

 

Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение  можно использовать в качестве регрессии.

Эмпирическое  корреляционное отношение вычисляется  для всех форм связи и служит дляизмерение тесноты зависимости. Изменяется в  пределах [0;1].

 

 

Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного  признака, объясненную вариацией  факторного признака.

Чаще  всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.

R²= 0.99² = 0.9795

т.е. в 97.95 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая. Остальные 2.05 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.

Для оценки качества параметров регрессии  построим расчетную таблицу

x	y	y(x)	(yi-ycp)2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y
200	110	115.95	1936	35.46	62500	0.0541
250	120	123.56	1156	12.7	40000	0.0297
300	135	131.17	361	14.65	22500	0.0284
350	140	138.78	196	1.48	10000	0.0087
400	150	146.39	16	13.03	2500	0.0241
450	159	154	25	25	0	0.0314
500	164	161.61	100	5.72	2500	0.0146
550	170	169.22	256	0.61	10000	0.0046
600	176	176.83	484	0.68	22500	0.0047
650	180	184.44	676	19.68	40000	0.0246
700	190	192.05	1296	4.18	62500	0.0108
4950	1694	1694	6502	133.19	275000	0.24

Изобразим фактические и расчётные значения фактора у

 

Для оценки статистической значимости коэффициентов  регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные  интервалы каждого из показателей.

Найдём  табличное значение данного критерия

t_крит (n-m-1;α/2) = (9;0.025) = 2.262

Рассчитаем  фактическое значения для сравнения

 

 

Поскольку 20.75  >  2.262, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

 

 

Поскольку 24.44  >  2.262, то статистическая значимость коэффициента регрессии aподтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения  регрессии.

Определим доверительные интервалы коэффициентов  регрессии, которые с надежность 95%  будут следующими:

(b - t_критS_b; b + t_критS_b)

(0.15 - 2.262 • 0.00734; 0.15 + 2.262 • 0.00734)

(0.14;0.17)

С вероятностью 95% можно утверждать, что  значение данного параметра будут  лежать в найденном интервале.

(a - t_критS_a; a + t_крит S_a)

(85.52 - 2.262 • 3.5; 85.52 + 2.262 • 3.5)

(77.6;93.43)

С вероятностью 95% можно утверждать, что  значение данного параметра будут  лежать в найденном интервале.

F-статистика. Критерий Фишера.

Коэффициент детерминации R² используется для проверки существенности уравнения линейной регрессии в целом.

Определим фактическое значение F-критерия:

 

 

где m=1 для парной регрессии.

Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=9, F_табл = 5.12

Поскольку фактическое значение F >F_табл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

 

1.2 Логарифмическая регрессия

  Логарифмическое уравнение регрессии  имеет вид y = bln(x) + a 

Составим таблицу  вспомогательных величин:

1	200	110	5.2983	28.0722	582.8149
2	250	120	5.5215	30.4865	662.5753
3	300	135	5.7038	32.5331	770.0106
4	350	140	5.8579	34.3154	820.1106
5	400	150	5.9915	35.8976	898.7197
6	450	159	6.1092	37.3229	971.3704
7	500	164	6.2146	38.6214	1019.1957
8	550	170	6.3099	39.8151	1072.6861
9	600	176	6.3969	40.9207	1125.8596
10	650	180	6.477	41.9512	1165.855
11	700	190	6.5511	42.9167	1244.7053
	4950	1694	66.4317	402.8527	10333.9033

 

Вычислим коэффициенты   и   уравнения логарифмической регрессии   

Итак, искомое уравнение  регрессии имеет вид:  .

Сделаем общий чертёж диаграммы рассеяния и графика  уравнения регрессии

Для оценки значимости параметров регрессии  и корреляции сначала рассчитаем выборочные средние.

 

 

 

Рассчитаем коэффициент  эластичности находится по формуле:

 

 

В нашем примере коэффициент эластичности больше 1. Следовательно, при изменении  Х на 1%, Y изменится более чем  на 1%. Другими словами - Х существенно  влияет на Y.

Оценим  качество уравнения регрессии с  помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее  отклонение расчетных значений от фактических:

 

Ошибка  аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует  о хорошем подборе уравнения  регрессии к исходным данным.

Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение  можно использовать в качестве регрессии.

Эмпирическое  корреляционное отношение вычисляется  для всех форм связи и служит дляизмерение тесноты зависимости. Изменяется в  пределах [0;1].

 

  – высокая связь между факторами

Рассчитаем  индекс корреляции для анализа тесноты  связи между факторами

Полученная  величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y

Рассчитаем  индекс детерминации.

 

 

т.е. в 99.38 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая. Остальные 0.62 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.

Для оценки качества параметров регрессии  построим расчетную таблицу (табл. 2)

ln(x)	y	y(x)	(yi-ycp)2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y
2.3	110	107.71	1936	5.26	0.1	0.0209
2.4	120	121.65	1156	2.72	0.0506	0.0137
2.48	135	133.04	361	3.84	0.0212	0.0145
2.54	140	142.67	196	7.14	0.0062	0.0191
2.6	150	151.01	16	1.03	0.000431	0.00676
2.65	159	158.37	25	0.39	0.000924	0.00394
2.7	164	164.96	100	0.92	0.0058	0.00583
2.74	170	170.91	256	0.83	0.0138	0.00536
2.78	176	176.35	484	0.12	0.0241	0.00198
2.81	180	181.35	676	1.82	0.0361	0.0075
2.85	190	185.98	1296	16.16	0.0494	0.0212
28.85	1694	1694	6502	40.23	0.31	0.12

t-статистика. Критерий Стьюдента. 

Найдём  табличное значениеt-критерия Стьюдента

t_крит (n-m-1;α/2) = (9;0.025) = 2.262

Рассчитаем  фактическое значение t-критерия Стьюдента

 

 

Поскольку 38.02  >  2.262, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

 

 

Поскольку 22.46  >  2.262, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения  регрессии.

Определим доверительные интервалы коэффициентов  регрессии, которые с надежность 95%  будут следующими:

(b - t_критS_b; b + t_критS_b)

(143.87 - 2.262 • 3.78; 143.87 + 2.262 • 3.78)

(135.31;152.43)

С вероятностью 95% можно утверждать, что  значение данного параметра будут  лежать в найденном интервале.

(a - t_критS_a; a + t_крит S_a)

(-223.34 - 2.262 • 9.94; -223.34 + 2.262 • 9.94)

(-245.84;-200.84)

С вероятностью 95% можно утверждать, что  значение данного параметра будут  лежать в найденном интервале.

F-статистика. Критерий Фишера – для оценки значимости всего уравнения регрессии.

 

определим фактическое значение F-критерия:

 

 

Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=9, F_табл = 5.12

Поскольку фактическое значение F >F_табл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

 

1.3 Нахождение и анализ уравнения  показательной регрессии 

Составим таблицу  вспомогательных величин:

1	200	110	40000	4.7005	940.0961
2	250	120	62500	4.7875	1196.8729
3	300	135	90000	4.9053	1471.5824
4	350	140	122500	4.9416	1729.5748
5	400	150	160000	5.0106	2004.2541
6	450	159	202500	5.0689	2281.0069
7	500	164	250000	5.0999	2549.9332
8	550	170	302500	5.1358	2824.6891
9	600	176	360000	5.1705	3102.2904
10	650	180	422500	5.193	3375.422
11	700	190	490000	5.247	3672.9169
	4950	1694	2502500	55.2606	25148.6389