Диагностирование характеристик вала с дисками по собственным частотам его крутильных колебаний

      и     

 

Рис. 3  Вал с тремя дисками

 

Если амплитуды колебаний  дисков обозначить то уравнения (2.14) для данного случая примут вид:

 

                         

.                    (2.15)

 

Складывая эти уравнения  получим

 

 

откуда

,

или

.

Квадрат частоты колебаний р² нулю равен быть не может, поэтому:

 

                                      

.                                        (2.16)

 

Выразим М₁ и М₃ через М₂ , что может быть сделано из уравнения (2.15)

 

 

Подставим полученные значения М₁ и М₃ в уравнение (2.16)

 

 

Сокращая на М₂ и приводя к общему знаменателю получим:

 

или

 

Делаем группировку

 

 

Освобождаясь от коэффициента при р⁴ и делая преобразование в круглых скобках получим окончательно:

 

              

                 (2.17)

Получили биквадратное уравнение для определения частоты. Корни этого уравнения и соответствуют двум главным видам колебаний: низшему, имеющему один узел колебаний (два соседних диска вращаются в одну сторону), и высшему, имеющему два узла колебания (крайние диски вращаются в одну сторону).

1.4 Колебания вала с четырьмя дисками

 

Рассмотрим крутильные колебания вала с четырьмя дисками. Пусть I₁ , I₂ ,I₃,,I₄ — моменты инерции дисков, k₁ ,k₂,,k₃ — жесткости участков вала на основе формулы (1.1) равные:

; ;

 

Амплитуды колебаний  дисков обозначим по-прежнему: М₁,М₂,,М₃,,М₄.

Тогда уравнения (2.14) для данного случая примут вид:  

 

                      

                           (2.18)

 

Складывая полученные уравнения  найдем:

 

Учитывая подобные слагаемые, получим

 

или

 

Квадрат частоты - р² нулю не равен, следовательно:

 

                                         

                           (2.19)

 

Выразим М₁,М₃ и М₄ через М₂, что может быть сделано с помощью уравнений (2.18).

С помощью первого  уравнения из (2.18) найдем:

 

                                                     

                                          (2.а)

 

Из второго уравнения  нижеследующими действиями найдем:

 

,

или подставляя вместо М₁ его значение из (2.а)

 

,

,

,                

                          

.                  (2.d)

 

Из уравнения четвертого найдем

 

Подставив значение М₃ из (2.d)

 

                    

               (2.е)

 

Найденные значения М₁, М₃ и М₄ подставим в уравнение (2.19)

 

 

Сокращаем полученное уравнение  на М₂ и приводим левую часть уравнения к общему знаменателю, который и отбрасываем. Общим знаменателем, очевидно, будет выражение:

 

Делаем группировку

 

 

Освобождаясь от коэффициента при р⁶, приведем наше уравнение к виду:

 

 

              

              (2.20)

Таким образом, были рассмотрены  формулы для нахождения собственных  частот колебания вала с различным  количеством дисков. Определив частоты, можно рассчитать критические скорости прямых валов, а, зная эти скорости можно  предупредить поступление разного рода нарушения нормального хода машины, которые обычно выражаются в появлении биений вала или вибрации всей установки в целом.

1.5 Применение  метода решения прямой задачи, программная реализация решения

 

Рассмотрим применение метода решения прямой задачи по определению собственных частот крутильных колебаний вала с дисками на конкретных примерах.

Пример 1

Определить собственные  частоты системы, состоящей из трех дисков с моментами инерции масс:  , укрепленных на стальном валу с жестокостями  и .

При подстановке данных значений в уравнение (2.17) получаем биквадратное уравнение:

р⁴-3.5p²+2.0=0.

 

Корни данного уравнения, найденные в пакете Maple, имеют вид:

_{p1=-1.667566013, p2=1.667566013, p3=-0.8480705122, p4=0.8480705122}

Но нас интересуют только положительные величины, так  как частоты отрицательные значения принимать не могут.

 

Пример 2

Определить собственные  частоты системы, состоящей из трех дисков с моментами инерции масс:  , укрепленных на стальном валу с жестокостями  и .

При данных значениях  физических величин решение уравнения (2.17) имеет вид:

_{p1=-1,370821968,  p2=-0,7879385321,  p3=1,370821968,  p4=0,7879385321}

Пример 3 

Определить собственные  частоты системы, состоящей из четырех  дисков с моментами инерции масс:  , укрепленных на стальном валу с жестокостями  , и .

При данных значениях  физических величин решение уравнения (2.20) имеет вид:

_{p1=-2,417091066,  p2=-1,581138830,  p3=2,417091066,  p4=1,581138830}

 

Приведем программную  реализацию решения прямой спектральной задачи, использующую команды математического  пакета MAPLE

Решение примера 1:

> I1:=0.2;

> I2:=0.3;

> I3:=0.1;

> k1:=0.1;

> k2:=0.2;

> y:=p^4-(k1*(I1+I2)/(I1*I2)+k2*(I2+I3)/(I2*I3))*p^2+((I1+I2+I3)/(I1*I2*I3))*k1*k2=0;

Подставим данные значения в уравнение (2.17)

> y:=p^4-(k1*(I1+I2)/(I1*I2)+k2*(I2+I3)/(I2*I3))*p^2+((I1+I2+I3)/(I1*I2*I3))*k1*k2=0;

> solve(y,p);

 

_{Решение примера 3:}

> restart;

> i1:=0.2;

> i3:=0.3;

> i2:=0.1;

> i4:=0.2;

> k1:=0.1;

> k2:=0.2;

> k3:=0.3;

Подставим данные значения в уравнение (2.20)

> y:=p^6-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3)+k3*(i3+i4)/(i3*i4))*p^4+(k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)+k2*k3*(i2+i3+i4)/(i2*i3*i4)+k1*k3*(i1+i3+i4)/(i1*i3*i4))*p^2+k1*k2*k3(i1+i2+i3+i4)/(i1*i2*i3*i4)=0;

> fsolve(y,p);

 

2  Диагностирование  характеристик вала с дисками  по спектру частот колебаний

2.1 Постановка  обратной спектральной задач

 

Поставим теперь к  задаче определения частот крутильных колебаний вала с дисками обратную спектральную задачу.

Поскольку изменения  величин моментов инерции масс дисков и коэффициентов жесткости участков вала на кручении могут характеризовать степень изношенности дисков, налипание к валу инородных предметов и так далее, то обратная задача состоит в диагностировании характеристик вала с дисками по собственным частотам колебаний вала. Известно, что изменения указанных значений характеристик вала проявляются в изменениях значений собственных частот его колебаний, что в свою очередь может привести к ненужным вибрациям, увеличению шума и т. п.

Поэтому возникает также задача сохранения заданного (безопасного) диапазона частот крутильных колебаний вала. Подобную проблему мы предлагаем решить также при рассмотрении обратной задачи.

Итак, известны  собственные частоты р крутильных колебаний вала с дисками. Необходимо определить характеристики вала с дисками по спектру частот его колебаний. К диагностируемым характеристикам мы отнесем моменты инерции масс дисков и коэффициенты жесткости участков вала на кручении.

Остановимся на диагностировании этих характеристик подробнее.

2.2 Диагностирование коэффициентов жесткостей участков вала между дисками

 

При исследовании задачи о колебаниях вала с тремя дисками получено следующее частотное уравнение (2.17):

 

Здесь, по-прежнему, k₁, k_2. – коэффициенты жесткостей участков вала между дисками,  р_. – собственная частота крутильных колебаний вала,  I₁, I_2, I_3.. – моменты инерции масс трех дисков соответственно.

Обратная  задача: Известны собственные частоты колебаний вала, моменты инерции дисков. Неизвестны коэффициенты жесткости участков вала между дисками.

Преобразуем уравнение (2.17) к виду

 

.

 

Если рассмотреть две  собственные частоты  р₁ и  р₂, то последние уравнения представляют собой систему алгебраических уравнений с двумя неизвестными k₁, k_{2 .}

                

             (3.1)

 

Вычитая из первого уравнения системы (3.1) второе, получим

 

.

 

Разделим обе части последнего равенства на :

 

 

Выразим  :

                                      

,                                 (3.2)

и подставим его в первое уравнение системы (3.1):

 

 

Преобразуем последнее  равенство к виду:

 

 

Решая последнее уравнение  относительно , получим

 

                                          

,                           (3.3)

 

где

Таким образом, формулы (3.2) и (3.3) однозначно определяют коэффициенты жесткости участков вала на кручении для вала с тремя дисками.

Поставим теперь подобную обратную задачу для вала с четырьмя дисками, частотное уравнение для  крутильных колебаний которого имеет  вид (2.20):

 

Здесь, снова,   k₁, k_2. k₃  – коэффициенты жесткостей участков вала между дисками,  р_. – собственная частота крутильных колебаний вала,  I₁, I_2, I_3, I_4. – моменты инерции масс четырех дисков.

Обратная задача: Известны собственные частоты колебаний вала, моменты инерции дисков. Неизвестны коэффициенты жесткости участков вала между дисками.

Рассмотрим снова две собственные частоты р₁ и  р₂ крутильных колебаний вала, тогда уравнения (2.20) представляют собой систему алгебраических уравнений с двумя неизвестными  k₁, k₂ при известном коэффициенте  k_3.

 

 

 

 

  (3.4)

 

 

 

 

 

 

 

Вычисления, проведенные  в пакете MAPLE, показывают, что из системы (3.4) можно однозначно определить коэффициенты жесткости двух любых участков вала между дисками при известном коэффициенте жесткости одного из трех участков. Причем все эти коэффициенты упругих закреплений определяются по двум собственным частотам крутильных колебаний вала.

2.3 Диагностирование  моментов инерции масс дисков

 

Рассмотрим снова частотное  уравнение (2.17), полученное для вычисления частот крутильных колебаний вала с  тремя дисками.

Обратная  задача. Пусть известны собственные частоты р колебаний вала, коэффициенты жесткости k₁, k₂ участков вала между дисками. Необходимо определить неизвестные моменты инерции масс двух дисков при известном моменте инерции третьего диска.