Школьное образование в России

 

Развивающие задачи:

• развитие умений и знаний учащихся в конкретной ситуации с помощью интегрирования урока;
• развитие логического мышления, умения работать в проблемной ситуации;
• развитие умений применять знания и навыки по теме: «производная» в других разделах математики;
• развитие умений сравнивать, обобщать, правильно формулировать задачи и излагать мысли:
• развитие самостоятельной деятельности учащихся.

Воспитательные задачи:

• воспитание интереса и любви к предмету через содержание учебного материала;
• умение работать в коллективе;
• умение применять преемственность в изучении отдельных тем математики, межпредметные связи с другими предметами;
• воспитание таких качеств характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

 

 

 

Ход урока.

1. Организационный момент. Приветствие, сообщение учащимся цели урока.
2. Проверка домашнего задания. Собрать домашние контрольные работы, дифференцированные по степени сложности.
3. Готовое домашнее задание.

Задача.

Пишите рассказ о бароне Мюнх Гаузене. Пушка стреляет под углом к горизонту. На ядре сидит барон. Определите характер движения ядра, если:

Vоу = 15 м/с, g =10 (м/с)2, Yо = 0

Решение.

Имеет место равноускоренное  движение по заказу:

 

,найдем  скорость  .

Движение совершается  по параболе.

В наивысшей точке подъема  .Для параболы в ее вершине функкции  достигает своего максимального значения .

Вопрос: Какая связь между  производной и функции?

Ответ: Когда  , функция применяет максимальное значение

- точке максимума.

Самостоятельная работа.

Задание 1.Дана функция

.Решите неравенство 

Решим неравенства методом  интервалов.

Рассмотрим функцию.

- + - +

-3 -2 -1

Ответ:

(Учащиеся выполняется  задание в тетрадях, один из  учеников работает у доски).

Фронтальная работа с классом.

Задача 2. Дана функция

Решение уравнение 

Решение.

Имеем:

Произведение двух сомножителей равно нулю , если хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом не теряет смысла.

Следовательно ,х=0 или sin x = 0,x = ПK, .

 при  K=0.

Ответ: .

 

Задача №3.

1. постройте график функции (эту часть задания выполняют дома)
2. найдите производную функции
3. постройте график производной в этой же системе координат.

Решение:

1) графиком данной функции  является парабола, ветви которых  направленны вверх. Координаты  вершины:

2) производная функции    

3) графиком производной  функции является прямая.

  

 

исследование.

1)  

2) сравним с функцией  ;

 

Постановка проблемной ситуации .

производная является скоростью  изменения функции, она определяет поведение функции.

Вопрос: Как связанны производная и функция (рассмотрите точку с абсциссой ?

Как бы вы это сформулировали?

 Заполнение таблицы:

 

Подведение итогов урока.

1. Повторены правила вычисления производных.
2. Рассмотрено применение производной к решению уравнений и неравенств; построение графиков; применение производной  в курсе физики.
3. Приступили к изучению основного применения производной исследованию функции с помощью производной и построению графиков функций.

Задачи на дом.

1. № 219,222 (а;в) ,223 (б). Алгебра и начало анализа: учебник для 10 – 11 классов средней школы. А.Н. Колмогоров и другие.
2. Дополнительно . Решите уравнение ,если :

А)

Б)

3. Резервное время.

Домашняя контрольная  работа.

1. Найти произведение функций:

а)

б)

в)

г)

2. Решите уравнения:

а)

б)

в)

Учитель предлагает в плане  подготовки к сдаче ЕГЭ контрольные  проверочные работы по математике подобранные  или задачи, которые комбинирует  по вариантам.

1. Решите уравнение:

 

Решение.

 

 

 

 

 

Разделим правую и левую  часть уравнения на , получим :

Обозначим

Таким образом ,

Ответ:.

2. Решить систему уравнений:

 

Решение:

Имеем:

Перемножив уравнения  системы, получим:

 

 

 

Ответ: ;   

3. Пусть

 

Найдите разность

1. способ:

подставляя  получаем

Возводим обе части  в квадрат 

                       

 Подставив его во второе уравнение получаем:

 

2. способ.  В соответствии с определением модуля:

 

Ответ:

4. при таком наименьшем натуральном значении n уравнение:

имеет равно один корень?

Решение.

 

                                                                           y

                                                                           

                                        175 

     +                       -                       + 

              -5                          3                            

                               -5                          5

                                           x

                       

                                                                

Очевидно, что уравнение имеет  единственное решение:                            -81                       

 

 

5. В треугольнике ABC на стороне AC отмечена точка  M, такая , что

Найдите AB, если AC =9, AM=4.

Решение.

подобны по двум углам:

- общей. 

 B

 

 

 

A C

  M

Защищаем пропорциональность их сторон. Лучше выписать равные отношения  всех соответствующих сторон и подставить известные стороны.

 

 

6. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит противоположную сторону так, что отрезок принадлежащих к вершине треугольника, равен основанию.

Решение.

     B  по условию, AB = BC, AD – биссектриса,

BD = AC. Имеем  AB = BD + DC – тогда,

используя формулу  ,

 D где a и b – длины двух сторон треугольника.

 ABC,

    A     C

 

 

Что и требовалось доказать.

Культура решения  задачи:

Во – первых, поиск решения должен совершаться на базе глубокого и всестороннего предварительного анализа задачи.

Во – вторых, каждая из совершаемых попыток решения  задачи должна обосновываться и в  случае неудачи должна быть проанализирована и установлена причина этой неудачи.

В – третьих, после нахождения верного решения должен быть произведен ретроспективный  анализ с целью  выявления общих методов, примененных  в этом решении, а также с целью  отыскания более рационального  решения, если это возможно.

Основные части заключенного анализа решения задачи:

1. Обсуждение выполненного решения задачи с точки зрения его рациональности. Важно попытаться найти еще и другие способы решения этой задачи, сопоставить  разные способы выявить положительные и отрицательные стороны предлагаемых способов решения.
2. Обсуждение поиска плана или способа решения задачи. Важно выяснить, какие приемы использованы  при этом поиске, какие из них способствовали удачи поисков, а какие привели к неудаче.
3. Обсуждение возможности обобщения данной задачи, выявления в ее условии лишних данных или других особенностей, сопоставление решенной задачи с другими , ранее решенными, выявление общих закономерностей и т.д.

 

1. Доказать, что во всяком треугольнике сумма попарных произведений котангенсов всех углов равна единице.

Решение.

требуется доказать, что 

 

 

 

Возможны следующие два  случая:

 

 

 

Значит в этом случае равенство (1) верно.

 

 

 

 

т.е. равенство (1) верно и  в этом случае.

 

 

 

 

 

2. Вывести формулы, выражающие .

Решение:

Согласно формуле Муавра, имеет (для комплексных чисел).

 

С другой  стороны:

 

 

 

 

Условие равенства двух комплексных  чисел:

 

Следует:

 

;

 

3. Решить уравнения  и исследовать, при  каких значениях параметра они корни ( и сколько их) и не имеет корней.

Решение.

I способ.

Корни уравнения должны удовлетворять  системе неравенств.

 

Возведя обе части данного  уравнения в квадрат, получит:

 

Уравнение (2) имеет решения, если 0,25 D=4-1+a=3+a откуда

Если 

Однако корень при всех значениях отрицателен  и, значит, не удовлетворяет условиям (1).

Выяснили, при каких значениях  отрицателен, а теперь выясним при каких значениях этих условиям удовлетворят корень Для этого решим систему:

 

Легко установить, что первое неравенство выполняется при 

Итак, при  уравнение имеет единственный корень оно не имеет корней.

II способ.

Положим

 

 

 

  

 

  

 

 

 

Эти линии пересекаются в  двух точках, имеющих абсциссы

  требованию может удовлетворять только второй корень; не трудно установить, что это требование выполняется при ( соответствующая часть параболы выделена на рисунке жирной линией)

Теперь вернемся к старой переменной

 

В результате получаем тот  же ответ, что и при первом способе  решения.