Экономический рост в модели межотраслевого баланса

значит  увеличить  темпы  прироста  инвестиций   может   лишь   рост   нормы

сбережений s (но для рассматриваемого периода она берется постоянной).

      Поскольку в условиях  равновесия инвестиции равны  сбережениям,  I=S,  a

S=sY при s=const, уровень дохода является величиной пропорциональной  уровню

инвестиций, и тогда

 

 

 

      Таким образом, согласно  теории  Домара,  существует  равновесный  тип

прироста реального дохода в экономике, при  котором  полностью  используются

имеющиеся  производственные  мощности.   Он   прямо   пропорционален   норме

сбережений  и  предельной  производительности   капитала,   или   приростной

капиталоотдаче (?Y/?K). Инвестиции доход растут с постоянным  одинаковым  во

времени темпом.

      Такое динамическое  равновесие может оказаться неустойчивым, как только

темп роста плановых  инвестиций  частного  сектора  отклоняется  от  уровня,

заданного моделью.

      Модель Е. Домара не  претендовала  на  роль  теории  роста.  Это  была

попытка расширить условия краткосрочного кейнсианского равновесия  на  более

длительный период и выяснить, какими будут  эти  условия  для  развивающейся

системы.

      Модель Харрода.  Харрод  построил  специальную  модель  экономического

роста (1939г.), включив в нее эндогеннннуюфункцию инвестиций (в  отличие  от

экзогенно заданных инвестиций у Домара) на основе  принципа  акселератора  и

ожиданий предпринимателей.

      Согласно  принципу  акселератора,  любой  рост   (сокращение)   дохода

вызывает  рост  (сокращение)  капиталовложений,  пропорциональный  изменению

дохода:

      Где v – акселератор.

 

      Предприниматели  планируют объем собственного  производства,  исходя  из

сложившейся ситуации в  предшествующий  период:  если  их  прошлые  прогнозы

относительно  спроса  оказались  верными  и  спрос   полностью   уравновесил

предложение, то в данном периоде предприниматели оставят темпы роста  объема

выпуска неизменными; если  спрос  в  экономике  был  выше  предложения,  они

увеличат темпы расширения  производства; если предложение превышало спрос  в

предшествующем периоде, они снизят темпы роста.

 

 

 

      Формализовать это  можно следующим образом:

 

 

 

      Где  а=1,  если  спрос  в  предшествующем  периоде  (t-1)  был   равен

предложению; а>1, если спрос превысил предложение и а0 и называют такую матрицу неотрицательной.

      Заданием матрицы  А  определяются  все  внутренние  взаимосвязи  между

производством и потреблением, характеризуемые табл.1

      Подставляя значения  xik = aik =  xk  во  все  уравнения  системы  (1),

получим линейную балансовую модель :

             x1 - (a11x1 + a12x2 + … + a1nxn) = y1

             x2 - (a21x1 + a22x2 + … + a2nxn) = y2                      (6)

             ……………………………………

             xn - (an1x1 + an2x2 + … + annxn) = yn   ,

 

      характеризующую баланс затрат - выпуска  продукции,  представленный  в

табл.1

      Система  уравнений  (6)   может   быть   записана   компактнее,   если

использовать матричную форму записи уравнений:

                _        _    _

             Е(х - А(х = У , или окончательно

                           _     _

             (Е - А)(х = У ,            (6()

 

      где Е – единичная матрица n-го порядка и

 

                           1-a11   -a12  …  -a1n

            E - A=     -a21   1-a22 …  -a2n

                             …………………

                             -an1    -an2 … 1-ann   (7)

 

      Уравнения (6) содержат 2n переменных (xi и   yi).  Поэтому,  задавшись

значениями  n  переменных,  можно  из  системы  (6)  найти  остальные  n   -

переменных.

      Будем исходить  из заданного ассортиментного  вектора У = (y1 , y2 , … ,

yn) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = (х1  ,  х2

, … хn).

      Из равенства вытекает  следующее:

      Чтобы  выпустить  только  единицу  конечного  продукта  k-й   отрасли,

необходимо в 1-й отрасли выпустить х1=S1k, во  2-й  х2=S2k  и  т.д.,  в  i-й

отрасли выпустить xi=Sik и, наконец, в n-й отрасли выпустить  xn=Snk  единиц

продукции.

      Так при этом  виде конечного продукта производства  только единица  k-го

продукта,  то  величины  S1k,  S2k,  …,  Sik,  …,  Snk,  представляют  собой

коэффициенты полных затрат продукции 1-й, 2-й и т.д.,  n-й  отраслей  идущей

на изготовление указанной единицы    k-го  продукта.  Мы  уже  ввели  раннее

коэффициенты прямых затрат a1k, a2k, …, aik, …, ank на единицу продукции  k-

й отрасли,  которые  учитывали  лишь  ту  часть  продукции  каждой  отрасли,

которая потребляется непосредственно k-й отраслью. Но, очевидно,  необходимо

обеспечить замкнутый производственный цикл. Если бы  продукция  i-й  отрасли

поступала бы только в k-ю отрасль в  количестве  aik,  то  производство  k-й

отрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо потребовалось еще продукты  1-

й отрасли (a1k), 2-й отрасли (a2k) и т.д. А они в  свою  очередь  не  смогут

работать, если не будут получать продукцию той же i-й отрасли (ai1,  ai2,  …

и т.д.). Проиллюстрируем сказанное на примере табл.2

      Пусть  нас не  интересует выпуск для внешнего  потребления продукции 2-й

отрасли (k=2) и  мы  хотим  определить  затраты  продукции  1-й  отрасли  на

единицу этой продукции. Из табл.2 находим, что на каждую  единицу  продукции

2-й отрасли (х2=1)  затрачивается:  продукции  1-й  отрасли  a12=0.4  и  2-й

отрасли a22=0.1.

      Таковы будут прямые  затраты. Пусть нужно изготовить  у2=100.  Можно  ли

для этого планировать выпуск 1-й отрасли х1=0.4(100=40  ?  Конечно,  нельзя,

т.к. необходимо учитывать, что 1-я отрасль часть своей продукции  потребляет

сама (а11=0.2), и  поэтому  суммарный  ее  выпуск  следует  скорректировать:

х1=40+0.2(40=48. Однако  и  эта  цифра  неверна,  т.к.  теперь  уже  следует

исходить из нового объема продукции 1-й отрасли – х1(=48 и т.д. Но  дело  не

только в этом. Согласно табл.2 продукция 2-й отрасли  также  необходима  для

производства и 1-й и 2-й отраслей и поэтому  потребуется  выпускать  больше,

чем у2=100. Но тогда возрастут потребности в продукции  1-й  отрасли.  Тогда

достаточно    обратиться  к    составленной    систем   уравнений,   положив

у1=0  и   у2=1   (см п.2):

 

             0.8х1 - 0.4х2 = 0    (8)

             -0.55х1 + 0.9х2 = 1

 

      Решив эту систему, получим х1=0.8 и х2=1.5.  Следовательно,  для  того

чтобы изготовить единицу конечного продукта 2-й отрасли,  необходимо  в  1-й

отрасли выпустить продукции  х1=0.8.  Эту  величину  называют  коэффициентом

полных затрат и  обозначают  ее  через  S12.  Таким  образом,  если  а12=0.4

характеризует  затраты  продукции  1-й  отрасли  на   производство   единицы

продукции 2-й отрасли, используемые непосредственно во 2-й  отрасли  (почему

они и были названы прямые затраты),  то  S12  учитывают  совокупные  затраты

продукции  1-й  отрасли  как  прямые  (а12),  так   и   косвенные   затраты,

реализуемые через другие (в данном  случае  через  1-ю  же)  отрасли,  но  в

конечном  счете  необходимые  для  обеспечения  выпуска  единицы   конечного

продукта 2-й отрасли. Эти косвенные затраты составляют S12-a12=0.8-0.4=0.4

      Если  коэффициент  прямых  затрат  исчисляется  на  единицу   валового

выпуска,  например  а12=0.4  при  х2=1,   то   коэффициент   полных   затрат

рассчитывается на единицу конечного продукта.

      Итак, величина Sik характеризует полные затраты продукции i-й  отрасли

для производства единицы конечного  продукта  k-й  отрасли,  включающие  как

прямые (aik), так и косвенные (Sik - aik) затраты.

      Очевидно, что всегда  Sik > aik.

      Если необходимо  выпустить  уk  единиц  k-го  конечного  продукта,  то

соответствующий валовый выпуск каждой отрасли составит на основании  системы

(8):

 

             x1 = S1k(yk, x2 = S2k(yk, …, xn = Snk(yk  (9)

 

      что можно записать короче в виде:

             _    _

             x = Sk(yk            (10)

 

      Наконец, если требуется  выпустить набор конечного  продукта,  заданный

ассортиментным вектором У =    :      , то  валовый   выпуск   k-й   отрасли

xk,  необходимый  для    его обеспечения, определится на основании  равенств

(10) как скалярное произведение  столбца Sk на вектор У, т.е.

                                                                   _  _

             xk = Sk1y1 + Sk2y2 + … + Sknyn = Sk(y ,              (11)

 

      а весь вектор-план х найдется из формулы (7) как произведение  матрицы

S на вектор У.

      Таким  образом,  подсчитав  матрицу  полных   затрат   S,   можно   по

формулам (7) – (11) рассчитать валовый выпуск каждой  отрасли  и  совокупный

валовый выпуск всех отраслей при любом заданном ассортиментном векторе У.

      Можно также определить, какое изменение в вектор-плане (х = ((х1, (х2,

…, (хn) вызовет заданное изменение ассортиментного продукта (У = ((у1,  (у2,

…, (уn) по формуле:

               _          _

             (х = S((У ,         (12)

 

      Включим  в наш  анализ,  кроме  производительных  затрат  xik,  затраты

труда, капиталовложений и  т.д.  по  каждой  отрасли.  Эти  новые  источники

затрат впишутся в таблицу как  новые  n+1-я,  n+2-я  и  т.д.  дополнительные

строки.

      Обозначим  затраты  труда  в  k-ю  отрасль  через  xn+1,k,  и  затраты

капиталовложений – через xn+2,k (где k = 1,  2,  …,  n).  Подобно  тому  как

вводились прямые затраты  aik,

введем  в  рассмотрение  коэффициенты   прямых   затрат   труда   an+1,k   и

 

                               xk

                                                     xn+2,k

      капиталовложений  an+2,k = ––––– ,   представляющих     собой   расход

соответствующего

                                                        xk

      ресурса на единицу  продукции, выпускаемую k-й  отраслью.  Включив  эти

коэффициенты в структурную матрицу (т.е. дописав их  в  виде  дополнительных

строк), получим прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат:

                                a11     a12     …     a1k     …     a1n

                                a21     a22     …     a2k     …     a2n

      При  решение  балансовых  уравнений  по-прежнему   используется   лишь

основная часть матрицы (структурная  матрица  А).  Однако  при  расчете  на

планируемый период  затрат  труда  или  капиталовложений,  необходимых  для

выпуска  данного  конечного  продукта,  принимают  участие   дополнительные

строки.

      Подсчитаем необходимые  при этом затраты труда Sn+1,1. Очевидно, исходя

из смысла коэффициентов an+1,k прямых затрат труда  как  затрат  на  единицу

продукции k-й отрасли и величин S11, S12, …,  S1n,  характеризующих  сколько

единиц продукции необходимо выпустить  в  каждой  отрасли,  получим  затраты

труда непосредственно в 1-ю отрасль как an+1,1S11,  во  2-ю  –  an+1,2S21  и

т.д., наконец в n-ю отрасль an+1,nSn1. Суммарные затраты труда, связанные  с

производством единицы конечного продукта 1-й отрасли, составят:

 

      _    _

             Sn+1,1 = an+1,1S11 + an+1,2S21 + … + an+1,nSn1 = an+1S1  ,

 

      т.е. равны скалярному произведению (n+1)-й строки расширенной  матрицы

А(, которую обозначим an+1, на 1-й столбец матрицы S.

      Суммарные  затраты  труда,  необходимые  для  производства   конечного

продукта k-й отрасли, составят:

                          _    _

             Sn+1,k = an+1Sk            (13)

 

      Назовем эти величины  коэффициентами полных затрат  труда. Повторив  все

приведенные рассуждения при  расчете  необходимых  капиталовложений,  придем

аналогично предыдущему к коэффициентам полных затрат капиталовложений:

                          _    _

             Sn+2,k = an+2Sk            (14)

 

      Пользуясь  этой  матрицей  можно   рассчитать   при   любом   заданном

ассортиментном векторе У не только необходимый валовый  выпуск  продукции  х

(для чего используется матрица S), но и необходимые суммарные  затраты  труда

xn+1, капиталовложений xn+2 и т.д., обеспечивающих  выпуск  данной  конечной

продукции У.

      Очевидно,

 

             xn+1 = Sn+1,1y1 + Sn+1,2y2 + … + Sn+1,nyn ,         (16)

             xn+2 = Sn+2,1y1 + Sn+2,2y2 + … + Sn+2,nyn ,

 

      т.е. суммарное количество труда и  капиталовложений,  необходимых  для

обеспечения ассортиментного вектора конечной продукции  У,  равны  скалярным

произведениям соответствующих дополнительных строк матрицы S( вектор У.

      Переходя  к  коэффициентам  прямых  затрат  aik,  получим  расширенную

матрицу:

 

                         0.2    0.4

             А( =     0.55  0.1

                         0.5    0.2

                         1.5    2.0

 

      Отсюда заключаем, что  запланированный  выпуск  конечного  продукта  У

может быть достигнут при валовом выпуске  1-й  и  2-й  отраслей:  х1=1000  и

х2=800, при суммарных затратах труда х3=660  тыс.  чел.-ч.  и  при  затратах

капиталовложений х4=3100 тыс.руб.

      Рассмотренные теоретические  вопросы и примеры расчета, конечно, далеко

не  исчерпывают  важную  для  практики   область   балансовых   исследований

экономического роста. Здесь проиллюстрировано только направление  приложения

математических расчетов в экономических исследованиях.

 

 

 

                                 Заключение

 

 

      Современная  теория  социально-экономической   динамики   и   генетики