Гетероскедастичность

гетероскедастичность

• Гетероскедастичность – понятие, используемое в эконометрике означающее неоднородность наблюдений, и выражающаяся в неодинаковой дисперсии случайной ошибки регрессионной модели

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ

 

Гетероскедастичность – это неоднородность

наблюдений. Она характеризуется тем, что не

выполняется предпосылка 2⁰ использования МНК (Метод наименьших квадратов).

 

 

 

 

 

Выполнимость предпосылки 2⁰ называется

гомоскедастичностью.

ИЛЛЮСТРАЦИЯ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ

Примеры гетероскедастичности:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• дисперсия остатков растет по мере увеличения x;

 

 

 

 

 

 

 

• дисперсия остатков достигает максимальной величины при средних значениях переменной х и уменьшается при минимальных и максимальных значениях х;

 

 

 

 

 

 

 

• максимальная дисперсия остатков при малых значениях х и дисперсия остатков однородна по мере увеличения значений х

 

ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТЬ ОШИБОК

 

Причиной непостоянства дисперсии

эконометрической модели часто является ее зависимость от масштаба рассматриваемых явлений.

 

В модель ошибка входит как аддитивное слагаемое. В то же время часто она имеет относительный характер и определяется по отношению к измеренному уровню рассматриваемых факторов.

Источники гетероскедастичности

 

Наиболее распространенный случай истинной

гетероскедастичности: дисперсия растет с

ростом одного из факторов.

Гетероскедастичность простейшего вида

 

Мы в дальнейшем будем рассматривать, главным

образом, только гетероскедастичность простейшего

вида:

СЛЕДСТВИЯ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ

 

1. Истинная гетероскедастичность не приводит к

смещению оценок коэффициентов регрессии

2. Стандартные ошибки коэффициентов

(вычисленные в предположении.

гомоскедастичности) будут занижены. Это

приведет к завышению t-статистик и даст

неправильное (завышенное) представление о

точности оценок.

Метод Гольдфельда — Квандта

 

• При малом объеме выборки, что наиболее характерно для эконометрических исследований, для оценки гетероскедастичности может использоваться метод Гольдфельда — Квандта.

 

ОБНАРУЖЕНИЕ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ

 

Обнаружение гетероскедастичности в каждом конкретном

случае – довольно сложная задача.

Для знания        необходимо знать распределение случайной

величины Y/X=x_ⁱ . На практике часто для каждого

конкретного значения x_ⁱ известно лишь одно y_ⁱ, что не

позволяет оценить дисперсию случайной величины Y/X=x_ⁱ.

 

Не существует какого-либо однозначного метода определения гетероскедастичности.

• метод Гольдфельда — Квандта., включает в себя следующие шаги.

 

• 1. Упорядочение n наблюдений по мере возрастания переменной у.

 

• 2. Исключение из рассмотрения С центральных наблюдений;при этом 

  (n - С): 2 > р, где р — число оцениваемых параметров.

 

• 3. Разделение совокупности из  наблюдений на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора x) и определение по каждой из групп уравнений регрессии.
• 4. Определение остаточной суммы квадратов для первой и второй  групп и нахождение их отношения:

 

• При выполнении нулевой гипотезы о гомоскедастичности отношение  R будет удовлетворять F -критерию с : (n-C-2p):2 степенями свободы для каждой остаточной группы квадратов.
• Чем больше величина превышает табличное значение F-критерия, тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин.

 

• четвертая предпосылка МНК - отсутствие автокорреляции остатков, т. е. значения остатков      распределены независимо друг от друга.
• Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений. Коэффициент корреляции между       и      , где      - остатки текущих наблюдений,         - остатки предыдущих наблюдений (например, j = i - 1), может быть определен по формуле:

ГОМОСКЕДАСТИЧНОСТЬ

ГОМОСКЕДАСТИЧНОСТЬ

 

 

•  Наличие одинаковой дисперсии. Данные являются гомоскедастическими, если их вариации соответствуют случайным отклонениям по тому же множеству.

Гомоскедастичность остатков

Пример использования метода Гольдфельда — Квандта

 

• Поступление доходов в бюджет Санкт-Петербурга (у — млрд руб.) в зависимости от численности работающих на крупных и средних предприятиях (х -тыс. чел.) экономики районов за 2011 г.

№п/п

 

 

Районы города

 

 

xⁱ

 

 

yⁱ

 

 

1

 

 

Павловский

 

 

3

 

 

4,4

 

 

-1,0

 

 

5,4

 

 

2

 

 

Кронштадт

 

 

6

 

 

8,1

 

 

2,5

 

 

5,6

 

 

3

 

 

Ломоносовский

 

 

8

 

 

12,9

 

 

4,9

 

 

8,0

 

 

4

 

 

Курортный

 

 

18

 

 

20,8

 

 

16,6

 

 

4,2

 

 

5

 

 

Петродворец

 

 

20

 

 

15,5

 

 

19,0

 

 

-3.5

 

 

6

 

 

Пушкинский

 

 

23

 

 

28,8

 

 

22,5

 

 

6,3

 

 

7

 

 

Красносельский

 

 

39

 

 

37,5

 

 

41,4

 

 

-3,9

 

 

8

 

 

Приморский

 

 

49

 

 

48,7

 

 

53,2

 

 

-4,5

 

 

9

 

 

Колпинский

 

 

60

 

 

68,6

 

 

66,1

 

 

2,5

 

 

10

 

 

Фрунзенский

 

 

74

 

 

104,6

 

 

82,6

 

 

22,0

 

 

11

 

 

Красногвардейский

 

 

79

 

 

90,5

 

 

88,5

 

 

2,0

 

 

12

 

 

Василеостровский

 

 

95

 

 

88,3

 

 

107,4

 

 

-19,1

 

 

13

 

 

Невский

 

 

106

 

 

132,4

 

 

120,4

 

 

12,0

 

 

14

 

 

Петроградский

 

 

112

 

 

122,0

 

 

127,4

 

 

-5,4

 

 

15

 

 

Калининский

 

 

115

 

 

99,1

 

 

131,0

 

 

-31,9

 

 

16

 

 

Выборгский

 

 

125

 

 

114,2

 

 

142,7

 

 

-28,5

 

 

17

 

 

Кировский

 

 

132

 

 

150,6

 

 

151,0

 

 

-0,4

 

 

18

 

 

Московский

 

 

149

 

 

156,1

 

 

171,0

 

 

-14,9

 

 

19

 

 

Адмиралтейский

 

 

157

 

 

209,5

 

 

180,5

 

 

29,0

 

 

20

 

 

Центральный

 

 

282

 

 

342,9

 

 

327,8

 

 

15,1

 

 

Итого

 

 

 

 

 

1652

 

 

1855,5

 

 

1855,5

 

 

0,0

 

• В соответствии с уравнением

  

   найдены теоретические значения  и отклонения от их фактических значений , т. е. ..

Итак, остаточные величины обнаруживают тенденцию к росту по мере увеличения и

• Этот вывод подтверждается и по критерию Гольдфельда – Квандта.
• Для его применения необходимо определить сначала число исключаемых центральных наблюдений C.
• При n=20 берем C=4 (при n=60 C= 16 , при n=30 C=8). Тогда в каждой группе будет по 8 наблюдений . Результаты расчетов представлены в таблице.

• Проверка регрессии на гетероскедастичность.

 

Уравнения регрессии

 

 

x

 

 

y

 

 

1 -я группа с первыми 8  районами: 

r = 0,979

F = 136,4

 

 

 

 

3

 

 

4,4

 

 

5,7

 

 

-1,3

 

 

1,69

 

 

6

 

 

8,1

 

 

8,5

 

 

-0,4

 

 

0,16

 

 

8

 

 

12,9

 

 

10,3

 

 

2,6

 

 

6,76

 

 

18

 

 

20,8

 

 

19,6

 

 

1,2

 

 

1,44

 

 

20

 

 

15,5

 

 

21,4

 

 

-5,9

 

 

34,81

 

 

23

 

 

28,8

 

 

24,2

 

 

4,6

 

 

21,16

 

 

39

 

 

37,5

 

 

38,9

 

 

-1,4

 

 

1,96

 

 

49

 

 

48,7

 

 

48,1

 

 

0,6

 

 

0,36

 

 

Сумма

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

68,34

 

 

2-я группа с последними

8 районами:

r = 0,969

F = 93,4

 

 

 

106

 

 

132,4

 

 

110,7

 

 

21,7

 

 

470,89

 

 

112

 

 

122,0

 

 

118,7

 

 

3,3

 

 

10,89

 

 

115

 

 

99,1

 

 

122,7

 

 

-23,6

 

 

556,96

 

 

125

 

 

114,2

 

 

136,1

 

 

-21,9

 

 

479,61

 

 

132

 

 

150,6

 

 

145,4

 

 

5,2

 

 

27,04

 

 

149

 

 

156,1

 

 

168,2