Контрольная работа по "Эконометрика"

X₂ –темп роста  производства промышленной продукции в регионе, %

X₃ –среднегодовая численность занятых в экономике региона, млн. чел.

При этом, сформулированы следующие исходные рабочие гипотезы:

Задание:

1. На основе рабочих  гипотез постройте систему структурных  уравнений и проведите их идентификацию;

2. Укажите, при каких  условиях может быть найдено  решение каждого из уравнений  и системы в целом. Дайте обоснование возможных вариантов подобных решений и аргументируйте выбор оптимального варианта рабочих гипотез;

3. Опишите методы, с  помощью которых будет найдено решение уравнений (косвенный МНК, двухшаговый МНК).

Решение.

1. Отличительной особенностью уравнений системы является наличие прямых и обратных зависимостей между переменными Y₁, Y₂ и Y₃. Указанная особенность характерна для так называемых структурных уравнений. В состав структурных уравнений входят: а) эндогенные переменные (Y_j), значения которых формируется в условиях данной системы признаков и их взаимозависимостей и б) экзогенные переменные (x_m), значения которых формируются вне данной системы признаков и условий, но сами экзогенные переменные участвуют во взаимосвязях данной системы и оказывают влияние на эндогенные переменные. Коэффициенты при эндогенных переменных обозначаются через , коэффициенты при экзогенных переменных обозначаются через , где i-число изучаемых объектов;  m –число экзогенных переменных, которые обычно обозначают  через x;  j - число эндогенных переменных, обычно обозначаемых через Y. Таким образом, в каждом уравнении системы каждый коэффициент при переменной имеет двойную индексацию: 1) - номер эндогенной переменной, расположенной в левой части уравнения и выступающей в качестве результата; 2) – номер переменной, находящейся в правой части уравнения и выступающей в качестве фактора.

В нашей задаче система  уравнений для описания выдвигаемые  рабочие гипотезы будет иметь  следующий вид:

2. Выполним идентификацию  каждого структурного уравнения  и всей  системы для ответа на вопрос – имеют ли решения каждое из  уравнений и система в целом. Воспользуемся счётным правилом, по которому в каждом уравнении системы необходимо сравнить число эндогенных переменных в данном уравнении – Y_H  и число отсутствующих в уравнении экзогенных переменных из общего для всей системы их перечня – . Для удобства анализа представим результаты в таблице.

Результаты идентификации  структурных уравнений и всей системы.

Номер уравнения	Число эндогенных переменных в уравнении, H	Число экзогенных переменных из общего их списка, отсутствующих в уравнении, D	Сравнение параметров H и D+1	Решение об идентификации уравнения
1	1	1	2 = 1+1	Точно идентифицировано
2	1	2	1 < 2+1	Сверхидентифицировано
3	2	3	2 < 3+1	Сверхидентифицировано
Вся система уравнений в целом				Идентифицирована

3. Для поиска решений сверхидентифицированной системы уравнений применяются: а) косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) для решения точно идентифицированных уравнений и б) двухшаговый МНК (ДМНК) для поиска решений сверхидентифицированных уравнений.

 

Задача № 7.

Данные о стоимости  экспорта ( ) и импорта ( ) Индии, млрд. $, приводятся за 1990-1999 гг.

В уровнях рядов  выявлены линейные тренды:

для экспорта - , а для импорта –

По указанным трендам  произведено выравнивание каждого  ряда, то есть рассчитаны теоретические  значения их уровней: и .

 

Годы	Экспорт (St)		Импорт (Kt)
	Sфакт.	=	K факт..
1990	18,0	16,4	23,6	18,5
1991	17,7	18,7	20,4	21,4
1992	19,6	21,0	23,6	24,3
1993	21,6	23,3	22,8	27,2
1994	25,1	25,6	26,8	30,1
1995	30,8	27,9	34,5	33,0
1996	33,1	30,2	37,4	35,9
1997	34,2	32,5	41,0	38,8
1998	32,9	34,8	42,2	41,7
1999	36,3	37,1	44,9	44,6

 

Предварительная обработка  исходной информации дала следующие  результаты:

 

	St	Kt	t
St	1	0,9725	0,9658
Kt	0,9725	1	0,9558
T	0,9658	0,9558	1
Итого	269,3	317,2	55
Средняя	26,93	31,72	5,5
	6,926	8,795	2,872

 

Задание:

1. Для изучения связи  рядов рассчитайте отклонения  фактических значений каждого  ряда от теоретических (   );

2. Для оценки тесноты  связи рассчитайте: а) линейный коэффициент парной корреляции отклонений от линии тренда: ; б) уровней рядов: и в) коэффициент частной корреляции уровней: ; поясните их значения, укажите причины различий значений парных коэффициентов корреляции (пп. «а» и «б») и схожести коэффициентов парной корреляции отклонений и частной корреляции уровней (пп. «а» и «в»);

3. Постройте уравнение  множественной регрессии с участием  временной составляющей:

4. Проанализируйте полученные результаты.

 

Решение.

1.Изучение связи рядов  выполним двумя способами, сравним  их результаты и выберем из  них правильный. Для оценки тесноты  связи рядов через величины  отклонений от оптимального тренда  рассчитаем значения отклонений: и

   

См. табл. 1.

 

Годы									(dSt)²	(dKt)²
1990	1	18	16,4	23,6	18,5	1,6	5,1	8,16	2,56	26,01
1991	2	17,7	18,7	20,4	21,4	-1	-1	1	1	1
1992	3	19,6	21	23,6	24,3	-1,4	-0,7	0,98	1,96	0,49
1993	4	21,6	23,3	22,8	27,2	-1,7	-4,4	7,48	2,89	19,36
1994	5	25,1	25,6	26,8	30,1	-0,5	-3,3	1,65	0,25	10,89
1995	6	30,8	27,9	34,5	33	2,9	1,5	4,35	8,41	2,25
1996	7	33,1	30,2	37,4	35,9	2,9	1,5	4,35	8,41	2,25
1997	8	34,2	32,5	41	38,8	1,7	2,2	3,74	2,89	4,84
1998	9	32,9	34,8	42,2	41,7	-1,9	0,5	-0,95	3,61	0,25
1999	10	36,3	37,1	44,9	44,6	-0,8	0,3	-0,24	0,64	0,09
Итого	55	269,3	—	317,2	—	1,8	1,7	30,52	32,62	67,43
Средняя	5,5	26,93	—	31,72	—	0,18	0,17	—	3,262	6,743
Сигма	2,872	6,926	—	8,795	—	1,797	2,591	—	—	—
D	8,25	47,976	—	77,344	—	3,23	6,714	—	—	—

 

Выполним расчёт коэффициента корреляции отклонений от трендов через  коэффициент регрессии  отклонений с1,  и .  Но для этого предварительно рассчитаем определители второго порядка по уравнению регрессии отклонений:

.

51,884=3046,421

; =1,563

Наше уравнение регрессии  будет выглядеть так: . С изменением отклонений импорта от своего тренда  на единицу отклонения экспорта от своего тренда изменятся в том же направлении на 0,155 часть своей единицы, 1,563 влияние прочих факторов. В дальнейшем коэффициент с1  используется для расчёта показателей тесноты связи двух рядов отклонений:

;              

Тесная связь отклонений от трендов не выявлена и означает, что вариация отклонений экспорта на 5% детерминирована изменениями импорта  и на 95% - влиянием прочих факторов. Второй вариант оценки связи двух рядов основан на традиционной оценке корреляции их уровней: .

Данный подход к решению  задачи предполагает традиционный расчёт определителей уравнения регрессии  уровней, нахождение коэффициента регрессии  а1 и далее с помощью и   - расчёт коэффициента корреляции. Необходимая информация представлена в табл. 2. Расчёт определителей дал следующие результаты:

                             

Годы
1990	18	23,6	324	556,96	424,8
1991	17,7	20,4	313,29	416,16	361,08
1992	19,6	23,6	384,16	556,96	462,56
1993	21,6	22,8	466,56	519,84	492,48
1994	25,1	26,8	630,01	718,24	672,68
1995	30,8	34,5	948,64	1190,25	1062,6
1996	33,1	37,4	1095,61	1398,76	1237,94
1997	34,2	41	1169,64	1681	1402,2
1998	32,9	42,2	1082,41	1780,84	1388,38
1999	36,3	44,9	1317,69	2016,01	1629,87
Итого	269,3	317,2	7732,01	10835,02	9134,59
Средняя	26,93	31,72
Сигма	6,926	8,795
D	47,976	77,344

Значения параметров регрессии: ;  , а уравнение имеет вид:

.

Оценки тесноты связи уровней составят: ; . Это значит, что в уровнях существует весьма тесная связь, при которой вариации импорта предопределяет 94,6% вариации экспорта.

Таблица 2

 

 

 

2. Однако, делать подобный  вывод было бы глубоко ошибочно потому, что в уровнях и одного, и другого рядов выявлены устойчивые, статистически значимые линейные тренды. В подобных условиях выявленное взаимодействие уровней не является отражением причинной зависимости, а представляет собой оценку ложной связи, вызванной наличием трендов схожей линейной формы. В силу того, что оба тренда сформированы под влиянием разного комплекса факторов, схожесть их формы создаёт иллюзию связи рядов. Подобные соображения позволяют отказаться от результатов  изучения связи уровней рядов, содержащих тренд. В данной ситуации особо пристального внимания заслуживает связь случайных отклонений от трендов. Именно этот подход позволяет выявить и количественно оценить истинную связь рядов.

3. Для формализованного  представления подобных зависимостей и использования моделей связи динамических рядов в прогнозных расчётах предлагается построить множественную регрессионную модель связи рядов, включая в неё в качестве обязательной составляющей фактор времени t. Речь идёт о построении модели следующего вида: .  В данной задаче в уровнях обоих рядов присутствует линейный тренд. Поэтому включение в модель линейно влияющего фактора времени позволит через коэффициент а2   отразить наличие линейного тренда в уровнях обоих рядов. Если в уровнях рядов представлены тренды иной, более сложной формы, тогда уравнение множественной регрессии должно через фактор времени отразить эту более сложную форму трендов.

Истинную силу и направление  связи рядов отразит коэффициент  регрессии а1  , а тесноту их связи оценит частный коэффициент корреляции: .

Используем для расчёта  параметров множественной регрессии  матрицу парных коэффициентов корреляции, представленную в исходных данных.

Для построения уравнения  в стандартизованном масштабе: рассчитаем значения -коэффициентов:

 

 

Получено следующее  уравнение: .

Его параметры позволяют  сделать вывод о том, что влияния импорта на экспорт почти в четыре раза сильнее, чем влияние систематических факторов, формирующих линейный тренд:

 

По значениям  -коэффициентов рассчитаем параметры множественной регрессии в естественной форме: ;