Программирование и анализ быстродействия фильтра

                              Рис.10. График АЧХ спроектированного  КИХ-фильтра нижних частот.

 

 

 

         Рис.11. График АЧХ спроектированного  КИХ-фильтра нижних частот в  логарифмическом масштабе.

 

 

Из графика (Рис.10) видно, что нужная амплитудно-частотная характеристика у спроектированного фильтра обеспечивается, и что частота F = 500 Герц является частотой среза, как и задано в исходных требованиях.

 

                                    Уравнение фильтра.

 

Окончанием проектирования фильтра  можно считать получение его уравнения. Получим же уравнение нашего спроектированного фильтра:

 

       Уравнение спроектированного  КИХ-фильтра нижних частот имеет  вид:

, где коэффициенты фильтра  - это есть значения взвешенной импульсной характеристики .

 

Порядок нашего фильтра равен 256, а  это значит, что в вышеуказанном  уравнении будет 256 слагаемых с  таким же количеством коэффициентов-значений импульсной характеристики полученного  фильтра. Определение данного уравнения  сводится к определению коэффициентов. Поэтому выведем список данных коэффициентов, начиная с нулевого:

 

Список всех коэффициентов фильтра:

 

 

 

 

 

 

Последующие значения взвешенной импульсной характеристики будут равны нулю, и, значит на самом деле, уравнение  полученного фильтра будет ограничиваться первыми восьмидесятью значениями (хотя порядок фильтра равен 256), среди которых также встречаются нулевые. Такое ограничение уравнения обуславливается выбором ширины окна Кайзера M=80.

 

                                                   Тестирование фильтра.

 

Фильтр спроектирован. Но нужно  реализовать его, проверить его  работу. Рассмотрим реализацию фильтра  путём подачи на его вход тестового  сигнала. Порядок нашего фильтра  равен 256, а это значит, как уже  отмечалось выше в анализе исходных требований, что данный фильтр должен реализовываться не путём дискретной свёртки входного сигнала и импульсной характеристики фильтра, а путём использования вычисления свёртки в частотной области с помощью алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ), что увеличит быстродействие нашего цифрового КИХ-фильтра нижних частот примерно в 4 раза. Итак, рассмотрим реализацию фильтра, которая будет представлять собой свёртку в частотной области:

 

 

 

                                                 Рис.12. График входного тестового сигнала s1(n).

 

 

Другие два тестовых сигнала  имеют аналогичный вид.

 

 

 

Мы дополнили входной сигнал и импульсную характеристику фильтра  нулями до L, так как длина их свёртки во временной области будет равна L.

 

 

 

                Рис.13. График сигнала sv1(n) на выходе фильтра при входном сигнале s1(n),

                             частота которого соответствует  полосе пропускания фильтра.

 

               Рис.14. График сигнала sv2(n) на выходе фильтра при входном сигнале s2(n),

                            частота которого соответствует  переходной полосе фильтра.

 

 

               Рис.15. График сигнала sv3(n) на выходе фильтра при входном сигнале s3(n),

                            частота которого соответствует  полосе задерживания фильтра.

 

Как видно из графиков выходных сигналов (Рис.13,14,15), наш фильтр без изменений пропустил сигнал s1(n), частота которого 200 герц входит в полосу пропускания фильтра, с довольно большим послаблением пропустил сигнал s2(n), частота которого 525 герц входит в переходную полосу фильтра, и практически не пропустил сигнал s3(n), частота которого 800 герц входит в полосу задерживания фильтра. В данном примере мы использовали для наглядности три гармонических сигнала, частоты которых входят в полосу пропускания, переходную полосу и полосу задерживания соответственно. На самом же деле, в практике, фильтр будет оперировать с сигналами, у которых много гармоник с различными частотами. В этом случае фильтр будет работать с входным сигналом точно также как в рассмотренном выше примере – будет пропускать без искажения низкочастотные гармоники сигнала, с ослабление будет пропускать те гармоники сигнала, частота которых входит в переходную полосу фильтра, и практически не будет пропускать высокочастотные гармоники сигнала. Задержка выходного сигнала по времени относительно входного сигнала обуславливается линейной фазовой характеристикой нашего фильтра, данная задержка пропорциональна частоте.

 

                                             Заключение.

 

Итак, в ходе данной работы был спроектирован  цифровой КИХ-фильтр нижних частот со следующими характеристиками:

• Длина импульсной характеристики – 256 отсчётов,
• Частота среза – 500 Гц,
• Частота дискретизации 2500 Гц.

В качестве метода проектирования был  выбран метод взвешивания импульсной характеристики при помощи соответствующей  взвешивающей функции (окна). Данный метод  проектирования наиболее удобен и прост  по сравнению с методами частотной выборки и расчёта оптимальных фильтров. Использование данного метода привело к некоторому “искажению” порядка фильтра из-за того, что для получения требуемой импульсной характеристики, импульсная характеристика идеального фильтра ограничивается окном Кайзера с определённой шириной (M = 80). Важным при использовании окна является соотношение между переходной полосой и пульсациями в полосах пропускания и задерживания. Так как эти два условия противоречивы, требуется найти компромиссный вариант. Итогом проектирования фильтра является получение его уравнения, где вся задача сводится к определению коэффициентов, которые являются значениями импульсной характеристики фильтра. После проектирования фильтра необходимо его рационально реализовать. Так использование вычисления свёртки в частотной области с помощью алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ) вместо непосредственной дискретной свёртки во временной области привело к повышению быстродействия нашего фильтра примерно в 4 раза. Сигнал на выходе данного спроектированного фильтра оказался задержанным относительно входного сигнала, что обуславливается линейной фазовой характеристикой нашего фильтра.

В ходе данной работы мною был получен  навык проектирования цифрового  КИХ-фильтра нижних частот, такая конкретика связана с тем, что разновидностей фильтров, скажем так, немало. И различия в способах проектирования разных фильтров бывают существенны, так, например, они существенны при проектировании БИХ- и КИХ-фильтров. Работа сама по себе интересна, да к тому же и весьма актуальна в нашем современном техническом мире, где практически любое электронное устройство средней сложности не обходится без участия фильтров. Поэтому навыки по проектированию фильтров, а также знания и понимание в этой области, конечно, надо повышать. Ведь обработка сигналов, а особенно цифровая, - это современное состояние технического мира. И если не “разобраться” с этой областью науки сейчас, то рано или поздно всё равно придётся столкнуться с проблемой её знания и понимания.

 

 

 

 

  Список  литературы и электронных источников  информации.

 

1. Голышев Н.В., Щетинин Ю.И. “Теория и обработка сигналов”, учебное пособие, Новосибирск: НГТУ, 1998.
2. Голышев Н.В., Щетинин Ю.И. “Задачник-практикум по теории и обработке сигналов”,   учебное пособие, Новосибирск: НГТУ, 2001.
3. Каппелини В., Константинидис А.Дж., Эмилиани П. “Цифровые фильтры и их применение”, М: Энергоатомиздат, 1983.

4. Марпл мл. С.Л. “Цифровой спектральный анализ и его приложения”, М: Мир, 1990.