Ньютон и Лейбниц – создатели математического анализа

Ньютон и Лейбниц –  создатели математического анализа

 

Исаак Ньютон (1643 – 1727)

 

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716)

Производная и интеграл

 

• В конце 17 века в Европе образовались две крупные математические школы. Главой одной из них был Готфрид Вильгельм фон Лейбниц. Его ученики и сотрудники – Лопиталь, братья Бернулли, Эйлер жили и творили на континенте. Вторая школа, возглавляемая Исааком Ньютоном, состояла из английских и шотландских ученых. Обе школы создали новые мощные алгоритмы, приведшие по сути к одним и тем же результатам – к созданию дифференциального и интегрального исчисления.

 

Происхождение производной

 

• Ряд задач дифференциального исчисления был решен еще в древности. Такие задачи можно найти у Евклида и у Архимеда, однако основное понятие – понятие производной функции – возникло только в17 веке в связи с необходимостью решить ряд задач из физики, механики и математики, в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного неравномерного движения и построения касательной к произвольной плоской кривой.
• Первую задачу: о связи скорости и пути прямолинейно и неравномерно движущейся точки впервые решил Ньютон

     

     

 

   Он пришел к формуле

Происхождение производной

 

• Ньютон пришел к понятию производной, исходя из вопросов механики. Свои результаты в этой области он изложил в трактате «Метод флюксий и бесконечных рядов». Написана работа была в 60-е годы 17 века, однако опубликована после смерти Ньютона. Ньютон не заботился о том, чтобы своевременно знакомить математическую общественность со своими работами.
• Флюксией называлась производная функции – флюэнты.
• Флюэнтой таже в дальнейшем называлась первообразная функция.

Портрет Ньютона художника Русакова. Мы видим фундаментальной труд  «Математические начала натуральной  философии», в котором Ньютон  изложил закон всемирного тяготения  и три закона механики, ставшие  основой классической механики

Фундаментальный труд Ньютона  «Математические начала натуральной  философии»

(в современном переводе «Математические  основы физики»)

был издан в 1686 году в количестве 300 экземпляров.

Распродан за 4 года, что тогда  считалось очень быстро.

Был летний день. Исаак Ньютон  любил размышлять, сидя в саду, на открытом воздухе. Предание  сообщает, что размышления Ньютона  были прерваны падением налившегося  яблока.

Так был сформулирован закон  всемирного тяготения

 

 

Первые научные опыты Ньютона  связаны с исследованиями света. В результате многолетней работы  Исаак Ньютон установил, что белый  солнечный луч представляет собой  смесь многих цветов.

 

Ньютон построил  первый зеркальный  телескоп.

 

Бином Ньютона

 

• Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

• Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё в Древнем Китае в XIII веке, а также исламским математикам в XV веке.

 

• Исаак Ньютон около 1676 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). Из биномиального разложения Ньютон, а позднее и Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

 

    Бином Ньютона в литературе

 

• В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном.
• В рассказе А. Конан Дойля «Последнее дело Холмса» Холмс говорит о математике профессоре Мориарти:
• «Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая будущность»
• Знаменита цитата из «Мастера и Маргариты» М. А. Булгакова: «Подумаешь, бином Ньютона!».
• Позже это же выражение упомянуто в фильме «Сталкер» А. А. Тарковского.
• Бином Ньютона упоминается:
• в повести Льва Толстого «Юность» в эпизоде сдачи вступительных экзаменов в университет Николаем Иртеньевым;
• в романе Е.И.Замятина «Мы».
• в фильме «Расписание на послезавтра»;

   Происхождение производной

 

• В подходе Лейбница к математическому анализу были некоторые особенности. Лейбниц мыслил высший анализ не кинематически, как Ньютон, а алгебраически. Он шел к своему открытию от анализа бесконечно малых величин и теории бесконечных рядов.
• В 1675 году Лейбниц завершает свой вариант математического анализа, тщательно продумывает его символику и терминологию, отражающую существо дела. Почти все его нововведения укоренились в науке и только термин «интеграл» ввёл Якоб Бернулли (1690), сам Лейбниц вначале называл его просто суммой.

   Происхождение производной

 

• По мере развития анализа выяснилось, что символика Лейбница, в отличие от ньютоновской, отлично подходит для обозначения многократного дифференцирования, частных производных и т. д. На пользу школе Лейбница шла и его открытость, массовая популяризация новых идей, что Ньютон делал крайне неохотно.

 

Работы Лейбница по математике  многочисленны и разнообразны.

В 1666 года он написал первое  сочинение: «О комбинаторном искусстве». Сейчас комбинаторика и теория  вероятности одна из обязательных  тем математики в школе.

 

1672 года Лейбниц изобретает  собственную конструкцию арифмометра,  гораздо лучше паскалевской —  он умел выполнять умножение,  деление и извлечение корней.  Предложенные им ступенчатый  валик и подвижная каретка  легли в основу всех последующих  арифмометров.

 

Лейбниц также описал двоичную  систему счисления с цифрами 0 и 1, на которой основана современная  компьютерная техника.

 

Кто автор производной?

 

• Ньютон  создал свой метод, опираясь на прежние открытия, сделанные им в области анализа, но в самом главном вопросе он обратился к помощи геометрии и механики. Когда именно Ньютон открыл свой новый метод, в точности неизвестно. По тесной связи этого способа с теорией тяготения следует думать. что он был выработан Ньютоном между 1666 и 1669 годами.

 

• Лейбниц обнародовав главные результаты своего открытия в 1684, опережая Исаака Ньютона, который еще раньше Лейбница пришел к сходным результатам, но не публиковал их.
• Впоследствии на эту тему возник многолетний спор о приоритете открытия дифференциального исчисления.

Формула Ньютона-Лейбница

Памятник Ньютону в Кэмбридже.

Памятник Лейбницу в Лейпциге.