Методы оптимальных решений

Вариант 40

Для полива различных  участков сада, на которых растут сливы, яблони, груши, служат три колодца. Колодцы  могут дать соответственно 180, 90 и 40 ведер воды. Участки сада требуют  для полива соответственно 100, 120 и 90 ведер воды. Расстояние (в метрах) от колодцев до участков сада указаны в следующей таблице:

Колодцы	Участки			Объем наличия, в.
	Сливы	Яблони	Груши
1	10	5	12	180
2	23	28	33	90
3	43	40	39	40
Объем потребления, в.	100	120	90

Как лучше организовать полив?

Формальная  постановка задачи

Константы

1. Пусть a_ij – расстояние в метрах от i-ого колодца к j-му участку, где i =1,2,3, j=1,2,3:

 ;

2. Пусть b_i – наличие воды в i-ом колодце, где i=1,2,3: b₁=180 в., b₂=90 в., b₃=40 в.;
3. Пусть c_j – потребность в воде j-го участка, где j=1,2,3: c₁=100 в., c₂=120 в., c₃=90 в.

 

Переменные

1. Обозначим через x_ij количество воды планируемое от i-го колодца к j-му участку, где i=1,2,3, j=1,2,3;
2. Обозначим через Q общее расстояние.

 

 

Решение

1. Зададим математическую модель фактического объема поставок от i-го колодца к участкам и, соответственно от колодцев к j-му участку, где i=1,2,3, j=1,2,3:

 и 

2. Зададим математическую общего расстояния:

Минимизация общего расстояния является целью решения задачи. Следовательно, целевая функция будет иметь  вид:

Ограничения

1. Поскольку x_ij выражает количество принесенных ведер, то они не могут быть отрицательны, то есть x_ij≥0
2. Количество ведер величина целая, то есть x_ij – целое;
3. Задача замкнута и является сбалансированной, так как суммарные потребности равны возможностям, следовательно, вся вода должна быть вынесена, все участки политы:

 

 

Реализация в Excel

 

 

 

 

 

Анализ решений

Значение целевой функции  составило 4930 м.

При этом, экономическая  интерпретация результатов будет  следующая. Из колодца №1 будет поставлено 10 ведер воды на сливы, 120 ведер воды – на яблони, 50 ведер воды – на груши. Из колодца №2 будет поставлено 90 ведер воды на участок со сливами. Из колодца №3 будет поставлено 40 ведер воды на участок с грушами. При этом общее расстояние будет минимальным и составит 4930 м.